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Entendendo o que é a derivada

A derivada é o coeficiente de inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x) em um determinado ponto P=(x0, f(x0)). Ela pode ser calculada através da fórmula:


d/dx [f(x)] = lim(x->x0, f(x)x-f(x0)/x-x0)


Ou, se chamarmos x - x0 de h, podemos usar a fórmula:


d/dx [f(x))] = lim(h->0. (f(x0+h) - f(x0)/h)


Ambas as fórmulas estão corretas, mas dependendo da situação é mais conveniente usar uma ou outra.



Além da notação dx/dx, que se lê "a derivada de y em relação a x", é muito comum utilizarmos uma linha para representála, como f'(x), que representa a derivada de f(x).


A derivada possui uma infinidade de aplicações nos ramos da Matemática, da Física e da Engenharia. Ela pode ser utilizada, por exemplo, para calcular a velocidade instantânea de um corpo ou de uma partícula em um instante t ou para resolver problemas que envolvam a variação de duas grandezas.


É interessante notar que a derivada sempre será um limite que resultará em uma situação 0/0, o que exigirá sua simplificação para alcançarmos seu verdadeiro valor. Por ser um limite, uma função apenas será diferenciável (um outro nome para derivável) em certo ponto se o limite da fórmula da derivada existir naquele ponto. De forma geral, uma função f(x) não será derivável em pontos que tenham bico ou em cuja reta tangente seja vertical. Ainda, se f(x) for diferenciável em um ponto x0, então f(x) é contínua em x0, mas a recíproca não é verdadeira!


Como recorrer às fórmulas acima toda a vez que se quer calcular uma derivada pode ser algo cansativo, existem alguns "truques" que podem auxiliar na obtenção do famigerado valor:


1) A derivada da soma é a soma das derivadas:


A derivada da soma é a soma das derivadas


2) A derivada da diferença é a diferença das derivadas:


A derivada da diferença é a diferença das derivadas


3) Ao contrário do que você possa estar pensando, a derivada do produto NÃO é o produto das derivadas; ao invés, ela é calculada através da fórmula abaixo, descoberta por Leibniz:


d/dx(f(x)g(x)) = f(x)d/dx(g(x))+g(x)d/dx(f(x))


4) Da mesma forma, a derivada do quociente NÃO é o quociente das derivadas, mas é obtida através da fórmula abaixo, desde que g(x) seja diferente de 0:


Derivada do quociente


5) A derivada de uma constante é sempre igual a 0.


6) A derivada de uma função potência na forma f(x) = xn é f'(x) = nxn-1 ou, em outras palavras, baixa-se e diminui o expoente (o expoente torna-se coeficiente de x e o novo expoente de x é o expoente original menos 1). Isso vale pexpoentes Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais.


Exemplos:


d/dx (5) = 0


d/dx x4 = 4x3


f(x)=3x; g(x)=2x2; d/dx(f(x)+g(x))=3 + 2.2x = 3 + 4x


No próximo post, veremos como calcular a derivada de uma função composta utilizando a regra da cadeia. Até!

Comentários

  1. Muito bom! De forma simples e clara, você explicou uma definição bem direta de derivada. Eu estava estudando por um livro que só jogava as fórmulas e não definia nada. Valeu mesmo, e parabéns pelo post! Muito boa a redação.

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  2. o que significa derivada de uma funçao num determinado ponto

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  3. Muito bom o resumo da deriva para compreensão de todos e ajuda na resolução dos problemas, porém gostaria de salientar a importância do estudo das derivadas pela definição. Alguns colegas de faculdade pensam que não há necessidade de saber a definição se as propriedades desempenham o mesmo papel na hora da prova, mas para que estudo a fundo a definição de derivada compreende plenamente o que é a mesma, haja visto que sua definição é intuitiva e suas propriedades não surgiram espontaneamente, assim conhecer a origem do conceito é entender de fato o objeto de estudo.

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  4. Pra mim continuou no msm, onde aplico os valores que até agora não entendi??? Vc colocou um monte de f(x) g(x), mas onde aplico eles quando um problema é tipo esse: encontre dy/dx derivando implicitamente 2 raiz quadrada de x + 2 raiz quadrada de y = 3?

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  5. Gostei muito,pois é objetivo e claro!!
    Obrigada.

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  6. É o seguinte,essa derivada ficaria assim:

    2 é constante e esta multiplicando a f(x),que seria raiz de x + 2.
    Você mantém a constante(2) e na raiz vc usa a regra da 8º serie, ficaria x+2 elevado a 1/2.
    ficaria : derivada = 2 . (x + 2)^1/2.
    1/2 . (x + 2)^1/2-1 . derivada de x + 2.


    1/2 . (x + 2)^-1/2 . 1

    1/2 . 1 / (x + 2)^1/2

    R: 1/2 / raiz quadrada de (x + 2)

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  7. obs: esqueci do 2 que era constante.

    2 . 1/2 / raiz de (x + 2)

    2/2 / raiz de (x + 2)

    R: 1 / raiz de (x + 2)

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  8. Olá, não sou boa em matemática, portanto você poderia aplicar a sua explicação no meu exercício?

    f(x)= x²-3x para x0=1

    Como ficaria este exemplo? Pois não sei como fazer!

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