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Diferenciação implícita

Uma função da forma y = f(x) define y explicitamente como uma função de x, pois y está isolado em um dos lados da igualdade. A função y = 3x + 1m por exemplo, define y explicitamente.


No entanto, em alguns casos as variáveis x e y aparecem misturadas na igualdade, como é o caso de yx + y + 1 = x. Neste caso, dizemos que y está definido implicitamente como uma função de x.



Perceba quen este caso, é simples descobrirmos qual é a função que está sendo definida implicitamente ao isolarmos y através de técnicas matemáticas comuns:




yx + y + 1 = x


yx + y = x - 1


y(x + 1) = x - 1


y = (x - 1) / (x + 1)



Em outros casos, porém, tal recurso não é possível ou prático, como no exemplo do fólio de Descartes, calculado pela fórmula x3 + y3 = 3xy.


Uma equação que possua as variáveis x e y pode definir mais de uma equação implicitamente. Isso geralmente ocorre quando o gráfico da função dada não passa no teste da reta vertical. A equação x² + y² = 25 define, no plano cartesiano, um círculo centrado na origem do sistema de coordenadas e raio 5. Esse círculo, evidentemente, não passa no teste da reta vertical e, logo, não é uma função, mas se isolarmos y, encontraremos duas funções implícitas que estão definidas pela fórmula: [latex]f(x) = sqrt{1-x^{2}}[/latex] e [latex]g(x) = - sqrt{1-x^{2}}[/latex]. Cada uma dessas funções é uma semicircunferência que passa no teste da reta vertical. Observe, abaixo, a função [latex]f(x) = sqrt{1-x^{2}}[/latex] em azul e [latex]g(x) = sqrt{1-x^{2}}[/latex] em verde:


Gráfico de funções implícitas


A diferenciação implícita é uma técnica que nos permite calcular a derivada de funções implícitas de forma mais rapidamente do que faríamos se fôssemos isolar a variável y. Trata-se de diferenciar ambos os lados da igualdade, realizar as devidas operações e isolar dy/dx.


Como exemplo, vamos calcular dy/dx para xy = 1. Evidentemente, nós poderíamos isolar y e calcular a derivada:




xy = 1


y = 1 / x


dy/dx = -1 / x²



Mas também poderíamos derivar a função implicitamente, como em:




xy = 1


d/dx (xy) = d/dx (1)


d/dx (xy) = 0


Pela regra da multiplicação, temos que:


x . dy/dx + y . dx/dx = 0


x . dy/dx + y = 0


dy/dx = -y / x



E se substituirmos o resultado do isolamento de y nessa última igualdade, teremos o primeiro resultado.


É claro que, para esse exemplo, não foi uma vantagem usar a derivação implícita, mas para equações maiores ela se torna uma verdadeira mão-na-roda.

Comentários

  1. Gosto da matéria mas ainda não consigo resolver matéria

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  2. O que eu não entendi foi o critério pra usar DX/dx ou dy/dx. Tenho errado todas as questões por causa disso.

    ResponderExcluir

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