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Como calcular limites

No post anterior, vimos que os limites são utilizados quando queremos descobrir como uma função se comporta quando sua variável independente tende a um determinado valor. Agora, vamos estudar algumas técnicas que poderão nos ser úteis em seus cálculos.




Limite de uma constante


Seja K uma constante. Se analisarmos como uma função f(x) = K se comporta quando x tende a um determinado valor, veremos que, independente dos valores escolhidos para x, todos eles terão a mesma imagem, ou seja, K. Assim, podemos concluir que o limite de uma constante é a própria constante ou, em termos mais matemáticos,


lim x-<a K = K



Limite da função identidade


A função identidade é aquela que a cada x associa ele próprio. É dada pela lei de formação f(x) = x. Quando vamos analisar como f(x) se comporta quando x tende a algum valor, vemos que f(x) é igual ao próprio x. Portanto, podemos concluir que:


lim x->a x = a



Propriedades operatórias dos limites


 


A partir de agora, vamos considerar que lim x->a f(x) = L e lim x->a g(x) = M. Com isso, podemos provar que:


1) O limite da soma é a soma dos limites, ou seja, O limite da soma é a soma dos limites. O mesmo vale para a diferença de limites.


2) O limite do produto é o produto dos limites: O limite do produto é o produto dos limites.


3) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite do denominador não seja igual a 0: O limite do quociente é o quociente dos limites.


Essas regras também valem para limites laterais e nos permitem solucionar rapidamente problemas envolvendo limites, como o exemplo abaixo:


Exemplo de cálculo de limites


Com isso, podemos perceber que o limite de uma função polinomial, em geral, é a imagem pela função do número ao qual x está tendendo.


Se ao calcular um limite quociente o limite do numerador for diferente de 0 e o do denominador for igual a 0, o limite da função não existe. Porém, se tanto o limite do numerador quanto do denominador forem iguais a 0, não podemos fazer afirmação alguma sobre como o limite se comporta.


Nos casos em que x tende a "a" resulta em um "zero sobre zero", sabemos que "-a" é um fator comum tanto do numerador quanto do denominador. Nesse caso, como o limite está "disfarçado", temos que dividir os termos por (x-a) e reescrevê-los como uma multiplicação para, uma vez fazendo as simplificações necessárias, encontrarmos o verdadeiro limite, como você pode analisar no exemplo abaixo:


Um caso de limite 0/0


No exemplo acima, quando x tende a 2, tanto o numerador x² - 4 quando o denominador x - 2 tendem a 0, o que nos impossibilita de tirarmos qualquer conclusão sobre o limite dessa função nesse ponto. Dividimos, então, o numerador por x-2 e o reescrevemos como (x+2)(x-2). Isso nos permite cancelar os dois x-2 e concluir que o real limite da função quando x tende a 2 é 4.


Poderia ter acontecido, porém, de mesmo tendo escrito o numerador e o denominador como uma multiplicação e feito as simplificações aplicáveis o limite continuar dando 0/0. Nesse caso, devemos repetir a operação de dividirmos ambos por (x-a) e fazer as devidas simplificações. Fazemos isso até que possamos eliminar a indefinição e obtenhamos uma resposta exata.

Comentários

  1. Quais são as regras principais, multiplicação, divisão, produtos notáveis, tem algum lugar que explique isso detalhadamente?

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  2. E quando tanto o numerador quanto o denominador têm raiz quadrada? Tem como fazer essa divisão por (x - 2)?

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  3. o x-2 foi um caso particular desse exemplo. Lembre-se que a raiz quadrada nada mais é do que elevar a 1/2. Se você não conseguir simplificar os polinômios, talvez seja interessante usar a regra de L'Opital.

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