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O que são poliedros?

A falta de uma definição precisa sobre o que é um poliedro foi uma das maiores culpadas pela dificuldade dos matemáticos do passado de demonstrarem teoremas sobre estes sólidos.


Um poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos, chamados de faces, onde:


a) Cada lado de um desses polígonos é lado de um, e apenas um, outro polígono.


b) A interseção de dois lados quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia.


c) É sempre possível ir de um ponto qualquer de uma face a um ponto qualquer de outra face sem passar por um vértice.


Os polígonos que formam o poliedro são chamados de faces; os lados desses polígonos se chamam arestas e suas extremidades são os vértices:


Um poliedro com a indicação de faces, de arestas e de vértices


Dizemos que um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma de suas faces o cortar (ou furar) em apenas dois pontos.



Uma questão fundamental se refere a contar o número de faces, de arestas e de vértices de um poliedro. Sejam F o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas.


Evidentemente, as faces de um poliedro podem ser formadas por diferentes polígonos. Assim, vamos indicar por F3 as faces de três lados, por F4 as faces de quatro lados e assim por diante. Logo, o número total de faces é dado por F = F3 + F4 + F5 + ... Da mesma forma, um vértice pode ser comum a três ou mais arestas. Assim, o número total de vértices é dado por V = V3 + V4 + V5 + ...


Se você desmontar um poliedro, o número de lados será o número de faces triangulares vezes três, o número de faces quadrangulares vezes quatro e assim por diante. Como cada aresta é lado de dois polígonos, ao somar tudo você terá o dobro de arestas. Assim, chegamos à conclusão de que 2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + ... De forma similar, em relação ao número de vértices, temos que 2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + ... A partir dessas duas relações, podemos concluir que 2A é maior ou igual a 3F e 2A é maior ou igual a 3V.


O Teorema de Euler diz que V - A + F = 2. O número 2 é chamado de característica do poliedro. Poliedros convexos, aqueles que são estudados no Ensino Médio, tem característica 2. Poliedros não convexos, como aqueles que possuem buracos ou várias partes, podem ter outras características, inclusive características negativas.

Comentários

  1. vcs tem que deixar mais desenhos para os visitantes olharen

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  2. amei isso deu certo!!!!!!!!!!!!!!!

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  3. isoo ae era tudo que eu precisava so acho que tinha que ter alguns exemplos e + imagens para quem esta olhando

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  4. essa buceta é um inferno nao tem nada a ver com que eu quero um horror que porra e essa eu ein]

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  5. que horror pra que escrever essas coisas feias eu ein

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