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O que são funções inversas?

As funções inversas são muito importantes na Matemática e em áreas como programação e criptografia. Basicamente, uma função inversa é uma função que desfaz  a ação de outra função. Por exemplo: se você tem uma função que a cada x soma mais 3 unidades, a função inversa pegaria o resultado e dele diminuiria três unidades.


De um ponto de vista mais formal, dada uma função f: A -> B, definimos sua função inversa f^(-1): B -> A como sendo uma função tal que A inversa de f composta com f de x é x para todo x pertencente a A e f composta com sua inversa de y dá y para todo y pertencente a B.


É importante salientar que nem toda função possui inversa! Para que uma função seja invertível, é necessário que ela seja bijetora, ou seja, dois valores diferentes quaisquer de x tem imagens diferentes e o domínio é igual à imagem. Logo, por exemplo, uma função afim como f(x) = x + 1 possui uma inversa, mas uma função quadrática, como f(x) = x² não pode ser invertida. Mais ainda, é possível provar que, se uma função tem inversa, então esta inversa é única, logo podemos falar "a inversa" e não "uma inversa".


Tão importante quanto observar se a função é bijetora é a relação de que o domínio da função inversa é a imagem da função original e o domínio da função original é a imagem da função inversa. Se as funções forem todas Reais de variável Real, não há problema, mas se forem em outros conjuntos, é necessário observar esse detalhe.


Mesmo que uma função não tenha inversa por não ser bijetora, ainda é possível invertê-la fazendo restrições em seu domínio. Por exemplo: vimos que a função f(x) = x² não possui inversa porque não é bijetora, mas se restringirmos seu domínio ao intervalo [0, +infinito), ela vai se tornar bijetora e, portanto, terá uma função inversa: a raiz quadrada (é por isso que é errado dizer, por exemplo, que a raiz quadrada de 9 é mais ou menos 3: a resposta correta é apenas 3). Uma maneira fácil de descobrir se uma função tem inversa é fazer o teste da reta horizontal: se o gráfico da função for cortado no máximo uma vez por qualquer reta horizontal, então aquela função possui inversa.


O gráfico de uma função inversa é uma reflexão do gráfico da função original em relação à função identidade. Isso ocorre porque, se (a, b) é um ponto do gráfico de f, então (b, a) é um ponto do gráfico de f-1. A imagem abaixo ilustra o que ocorre com f(x) = x ³ e sua inversa: a função f(x) está representada em azul, a inversa em rosa e a função identidade em verde:


Gráfico de funções inversas


Para encontrar uma função inversa, a primeira coisa a fazer é verificar se a mesma é bijetora; Se não for, devemos restringir seu domínio para torná-la. Após termos certeza de que a função cumpre esse requisito fundamental, devemos seguir os seguintes passos:


1) Caso a função esteja escrita na forma f(x) = ... , substituímos o f(x) por y;


2) Onde está escrito x, colocamos y e onde está escrito y, colocamos x;


3) Isolamos o x;


4) Substituímos o x, que está isolado, por f-1 e trocamos o y por x.


Como exemplo, observe encontrarmos a inversa de f(x) = x + 1:




f(x) = x + 1


y = x + 1


y - 1 = x


f-1(x) = x - 1



É claro que os passos acima podem ser usados para qualquer função mais simples, como a do exemplo, mas não são a melhor maneira de encontrar-se funções inversas de funções um pouco mais elaboradas, como as que possuem expoentes maiores do que 2, quocientes, expressões trigonométricas...

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