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Polinômios

Dado um corpo K, chamamos de polinômio a uma sequência p(X) = a0 + a1X + a2X2 + ... + anXn, onde X é chamado de indeterminada e os ai pertencem a K, para todo i Natural entre 0 e n.



Dois polinômios p(X) = a0 + a1X + a2X2 + ... + anXn e g(X) = b0 + b1X + b2X2 + ... + bnXn de mesmo comprimento são iguais se ai = bi para todos os i entre 0 e n.


Em um polinômio  p(X) = a0 + a1X + a2X2 + ... + anXn, se an é diferente de 0, então an é chamado de coeficiente dominante de p(X) e n é chamado de grau de p(X), denotado por gr(p(X)). Cabe lembrar que o polinômio nulo, isto é, aquele onde todos os coeficientes são iguais a 0, não possui grau.


Para somarmos dois polinômios, simplesmente devemos somar os coeficientes correspondentes. Para multiplicarmos, temos duas opções: a primeira é utilizar a propriedade distributiva da multiplicação, mas dependendo do grau e dos coeficientes dos polinômios, poderá ser necessário fazer muitas contas, o que pode fazer com que você se perca. Por isso, existe uma forma alternativa de se chegar ao resultado: f(X).g(X) = c0 + c1X + ... + c2nX2n, onde os ck são a soma de todos os aibj que resultem em k. Por exemplo:  c0 = a0b0, c1 = a0b1 + a1b0 e por aí vai. O grau da soma é o maior dos graus, isso é, gr(f(X)+g(X)) = max{gr(f(X)), gr(g(X))}. O grau da multiplicação é a soma dos graus, ou seja, gr(f(X)g(X)) = gr(f(X)) + gr(g(X)).


Uma equação nada mais é do que um polinômio igualado a 0. Todo polinômio f(X) = a0 + a1X + a2X2 + ... + anXn [latex]in[/latex] K[X] determina uma função polinomial função de K em K, alfa -> f(alfa) tal que f(α) = α0 + α1X + α2X2 + ... + αnXn. Se f(α) = 0 então α é chamada de raiz do polinômio. Caso o corpo do polinômio em questão seja o corpo dos números Racionais, Reais ou Complexos, f(X) = g (X) se e somente se f =g. Em geral, a recíproca desta afirmação não é verdadeira.


Por serem um corpo, os polinômios compartilham das mesmas propriedades  dos números inteiros, como a divisibilidade e o MDC, mas com algumas diferenças, as quais veremos nos próximos posts.

Comentários

  1. Maicon Vinicius Altnetter5 de dezembro de 2011 06:46

    André,
    Sou estudante de matemática e queria saber se pode me tirar uma dúvida quanto a um exercicio.
    Tenho que grau de (f+g)=5 e o grau de (f-g)=2 e pede pra encontrar o grau de (f.g)
    Se puder me ajudar.
    Desde já agradeço!

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