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MDC de Polinômios

Assim como os números inteiros, também é possível obter o MDC de dois polinômios. Sejam f(X) e g(X) pertencentes a K[X] dois polinômios não simultaneamente nulos. Um polinômio d(X) pertencente a K[X] é chamado de máximo divisor comum de f(X) e g(X), com a notação mdc(f(X), g(X)) se e somente se:


(i) d(X) | f(X) e d(X) | g(X)


(ii) Para todo polinômio d'(X) pertencente ao corpo K[X], se d'(X) | f(X) e d'(X) | g(X) então d'(X) | d(X).



Para calcularmos o MDC, devemos prosseguir da maneira usual: se f(X) e g(X) são não simultaneamente nulos, então:


(i) Sem perda de generalidade, se g(X) = 0, então f(X) é diferente de 0 e mdc(f(X), g(X)) = f(X).


(ii) Se ambos  são não nulos, então segue-se o algorítmo abaixo:




g(X) = q1(X)f(X) + r1(X). Se r1(X) é diferente de 0,


f(X) = q2(X)r1(X) + r2(X). Se r2(X) é diferente de 0,


r1(X) = q3(X)r2(X) + r3(X).



Se r3(X) é 0, então o MDC é r2(X); senão, repete-se o procedimento até se obter um resto nulo.


A grande diferença do MDC de polinômios em relação ao MDC de números inteiros é que, enquanto o último é único, no caso dos polinômios, se d(X) é MDC de dois polinômios, então todo múltiplo escalar não nulo de d(X) também é MDC dos dois polinômios.

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