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Divisão de Polinômios

O Algorítmo da Divisão Euclidiana também se aplica a dois polinômios de forma muito similar àquela dos números inteiros: dados dois polinômios f(X) e g(X) pertencentes a um corpo K[X], existem únicos polinômios q(X) e r(X) pertencentes a esse corpo K[X] tais que g(X) = q(X)f(X) + r(X) e r(X) = 0 ou o grau de r(X) é menor do que o grau de f(X).


Como exemplo, veja como dividimos X3 - 3X2 + 1 por X2 - X:


Divisão de Polinômios


Neste caso, temos que a divisão de X3 - 3X2 + 1 por X2 - X resulta em X + 2 e deixa o resto -2X + 1. Repare que, apesar da grande similaridade com a divisão euclidiana de números inteiros, é necessário prestar atenção aos sinais utilizados. Na divisão de números inteiros, geralmente colocamos números positivos no quociente e diminuímos o resultado de sua multiplicação pelo divisor do dividendo. Aqui, na verdade, invertemos o sinal na operação. Nosso objetivo é, apenas, eliminar o termo de maior grau do dividendo e, para isso, podemos colocar, no quociente, termos positivos ou negativos.


Caso o resto da divisão seja igual a 0, dizemos que aquele quociente é um divisor do polinômio. Mais ainda, de acordo com o teorema de D'Alambert, se α é uma raiz do polinômio, então X -  α é um divisor daquele polinômio.


Existe, ainda, outro importante teorema envolvendo o resto de um polinômio o qual facilitará em muito os cálculos que você poderá vir a fazer: o resto da divisão de um polinômio p(X) por outro polinômio da forma aX + b é igual a p(-b/a), ou seja, à imagem da raiz do divisor por p. Mas atenção: isso só funciona se p(X) estiver sendo dividido por um polinômio da forma aX + b: para qualquer polinômio de uma forma diferente não vale essa afirmação!

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