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Ângulos - Arco de circunferência

Sejam N e P dois pontos de uma circunferência que não sejam extremidades de um diâmetro:


O arco de circunferência NP


O arco menor NP é a reunião do conjunto dos pontos N, P e de todos os pontos da circunferência que estão no interior do ângulo NÔP.


O arco maior NP é a reunião do conjunto dos pontos N, P e de todos os pontos da circunferência que estão no exterior do ângulo NÔP.


Caso N e P sejam as extremidades de um diâmetro, o arco maior e o arco menor terão o mesmo complimento; mais ainda, pelo postulado da Determinação, N e P determinarão uma reta. Assim, chamamos de semiucircunferência NP à reunião dos pontos N, P e de todos os pontos da circunferência que estejam num mesmo semiplano dos determinados pela reta NP.


A definição de arcos da circunferência é importante porque nos permite definir as medidas de ângulos, como o grau,grado e o radiano.


Existem várias relações envolvendo ângulos na circunferência. As que precisamos, neste momento, são as seguintes definições:




  • Duas circunferências são congruentes quando possuem raios iguais;

  • Dois arcos, AB e CD, de uma circunferência de centro O são congruentes se os ângulos AOB e COD são congruentes;

  • Em uma circunferencia de centro O, o arco AC é a soma dos arcos AB e BC se o ângulo AOC é a soma dos ângulos AOB e BOC;

  • Em uma circunferência de centro O, o arco AB é maior do que o arco CD se o ângulo AOB for maior do que o ângulo COD;

  • Ângulo central é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência;

  • A medida do um arco da circunferência é a medida do ângulo central correspondente.


Graças a essa última e importante definição, podemos caminhar para a definição das unidades de medidas de ângulos. Só para que fique bem claro - retomaremos o exemplo daqui a pouco - a medida do arco AB, em uma circunferência de centro O, é a medida do ângulo AOB.


O grau é uma herança da base de numeração sexagesimal. Trata-se de divir a circunferência em 360 partes iguais; marcamos cada parte por um ponto, digamos A0, A1, A2, ... A359 (perceba que o primeiro ponto é A0). Agora, vamos criar um arco de circunferência com dois pontos consecutivos An e An+1 (por exemplo: A3 e A4). A medida do ângulo central desse arco que acabamos de criar é um grau. Um minuto é [latex]frac{1}{60}[/latex] do grau e um segundo é [latex]frac{1}{60}[/latex] do minuto. Concluímos, assim, que um minuto tem 60 segundos, um grau tem 60 minutos e uma circunferência tem 360 graus. Também podemos dizer que um grau é o equivalente ao ângulo reto dividido por 90


A definição de grado é bastante similar à de grau, com a diferença de que, se antes dividimos a circunferência em 360 partes iguais, agora vamos dividí-la em 400 partes iguais. Se o grau era a unidade herdada do sistema sexagesimal, o grado é a unidade do sistema centesimal, pois o mesmo também pode ser obtido dividindo-se o ângulo reto por 100. Um centígrado é o submúltiplo do grado equivalente ao minuto do grau e equivale a 0,01 grado; um decimiligrado é o equivalente ao segundo e equivale a 0,0001 grado. Vale salientar, ainda, que 1 grado equivale a 0,9 graus. Essa medida é usada em triangulações.


Mas a medida mais utilizada atualmente, principalmente no meio universitário e nas engenharias, é o radiano que se origina da medida do comprimentodo ângulo central subentendido por um arco igual ao raio da circunferência. O comprimeito da circunferência é dado por 2πr e r = 1 rad logo uma circunferência mede 2π radianos.


A melhor maneira de se converter graus para radianos e vice-versa é através de uma regra-de-três. Para auxiliá-lo, costumamos indicar o equivalente em radianos de ângulos múltiplos de 90 °: 0° = 0 rad, 90° = π/2 rad, 180° = π rad, 270° = 3π/2 rad e 360° = 2π rad.


É importante que você acostume-se a utilizar os radianos para medir ângulos, pois a maior parte dos cálculos que envolvem suas medidas nos níveis técnicos e superior é feita nessa unidade que em muito facilita cálculos algébricos. A forma trigonométrica dos números complexos, por exemplo, geralmente é expressa em radianos.

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