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Mostrando postagens de Julho, 2011

Congruência módulo m

A congruência módulo m é uma operação muito importante na aritmética. As noções de congruência foram introduzidas por Gaussem seu livro Disquisitiones Arithmeticae em 1801 e ainda hoje são utilizadas em várias áreas, como o desenvolvimento de algorítmos de criptografia, como o RSA, para demonstrar e justificar matematicamente os critérios de divisibilidade, para encontrar restos, entre outras aplicações.

Posições relativas na circunferência

Em relação a uma circunferência, uma reta pode ser secante, tangente ou exterior.

Ângulos - Arco de circunferência

Sejam N e P dois pontos de uma circunferência que não sejam extremidades de um diâmetro:

O arco menor NP é a reunião do conjunto dos pontos N, P e de todos os pontos da circunferência que estão no interior do ângulo NÔP.
O arco maior NP é a reunião do conjunto dos pontos N, P e de todos os pontos da circunferência que estão no exterior do ângulo NÔP.
Caso N e P sejam as extremidades de um diâmetro, o arco maior e o arco menor terão o mesmo complimento; mais ainda, pelo postulado da Determinação, N e P determinarão uma reta. Assim, chamamos de semiucircunferência NP à reunião dos pontos N, P e de todos os pontos da circunferência que estejam num mesmo semiplano dos determinados pela reta NP.

Circunferência e Círculo

Há uma grande confusão - e também uma grande polêmica - em relação aos termos circunferência e círculo. Alguns dizem que estes são sinônimos, mas na verdade não é bem assim.

Polinômios irredutíveis

Os polinômios irredutíveis são o análogo aos números primos. Dizemos que um polinômio f(X) é redutível em um corpo K[X] se  existem polinômios g(X) e h(X), com o grau de cada um desses polinômios menor ou igual a 1 e menor do que o grau de f(X), tais que f(X) = g(X)h(X). Caso contrário, dizemos que f(X) é irredutível em K[X].
Como nem sempre é fácil encontrar g(X) e h(X), existem três "dicas" que podem ajudá-lo nessa tarefa:


Todo polinômio de grau 1 em K[X] é irredutível.
Todo polinômio de grau menor ou igual a 3 em K[X] ou é irredutível em K[X] ou possui uma raiz em K[X].
(Critério de  Eisenstein) Sejam f(X) um polinômio em Z[X], f(X) = a0 + a1X + ... + anXn e p um número inteiro primo. Se  p | ai, 0 < i < n - 1, p não divide an e p2 não divide a0 então p(X) é irredutível.

MDC de Polinômios

Assim como os números inteiros, também é possível obter o MDC de dois polinômios. Sejam f(X) e g(X) pertencentes a K[X] dois polinômios não simultaneamente nulos. Um polinômio d(X) pertencente a K[X] é chamado de máximo divisor comum de f(X) e g(X), com a notação mdc(f(X), g(X)) se e somente se:
(i) d(X) | f(X) e d(X) | g(X)
(ii) Para todo polinômio d'(X) pertencente ao corpo K[X], se d'(X) | f(X) e d'(X) | g(X) então d'(X) | d(X).

Divisão de Polinômios

O Algorítmo da Divisão Euclidiana também se aplica a dois polinômios de forma muito similar àquela dos números inteiros: dados dois polinômios f(X) e g(X) pertencentes a um corpo K[X], existem únicos polinômios q(X) e r(X) pertencentes a esse corpo K[X] tais que g(X) = q(X)f(X) + r(X) e r(X) = 0 ou o grau de r(X) é menor do que o grau de f(X).

Polinômios

Dado um corpo K, chamamos de polinômio a uma sequência p(X) = a0 + a1X + a2X2 + ... + anXn, onde X é chamado de indeterminada e os ai pertencem a K, para todo i Natural entre 0 e n.

2 = 1? Resolvendo um grande mistério da Matemática

Hoje, vou esclarecer um dos maiores mistérios da Matemática e que está rodando na Internet há um tempão: a sequência de contas que "prova" que 2 é igual a 1. Você já deve ter visto, se não, aqui está:

Explicando o que está no desenho, a conta começa atribuindo a uma variável a, qualquer, o valor de x, ou seja, a é igual a x. A seguir, preservamos a igualdade adicionando a aos dois termos tendo, assim, que a + a é igual a a + x. A próxima linha simplifica o primeiro termo mas mantém o segundo. Na quarta linha, fazemos algo similar ao que fizemos na segunda, subtraindo 2a dos dois lados da igualdade. A seguir, coloca-se o 2 em evidência e faz-se a operação com a incógnita x no segundo termo. "Passa-se" o (a-x) para o outro lado, divide-se e obtem-se 1 e, desta forma, chegamos à conclusão de que 2 é igual a 1.
Onde está o erro?

Casos famosos de invasão de sinal de TV

Com essa onda de hackers invadindo e derrubando sites do governo e de empresas, eu logo lembrei de uma outra possibilidade: invasão de sinal televisivo. Imagine você estar assistindo televisão quando, de repente, aparece alguém com alguma mensagem.
A ideia não é nova e, pelo que pesquisei, nunca ocorreu no Brasil - ao contrário de invasões de rádios piratas, que muitas vezes atrapalham frequências legitimas. Na ficção, é um recurso recorrente: em V de Vingança, série de quadrinhos que inspirou o Anonymous, o protagonista utiliza-se desta prática para denunciar a corrupção do governo; Em Terra: Conflito Final, Jonathan Doors invade o sinal de uma emissora para revelar que está vivo e que tem evidências de que os Taelons tem segundas intensões. Pesquisando na Wikipedia, eu descobri alguns casos famosos, a maioria ocorreu na década de 80.
Vrillon, do Comando Ashtar
Em 26 de Novembro de 1977, uma voz não identificada interrompeu uma transmissão da Independent Television News e transmitiu uma…