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Tudo sobre números complexos (parte 2)

No post anterior, vimos que um número complexo z = a + bi nada mais é do que um vetor que sai da origem (0. 0) e vai até o ponto (a, b) do plano de Argand-Gauss. A norma deste vetor é chamada de módulo do número complexo.


O plano dos números complexos


É fácil perceber que o número complexo z = a + bi forma um ângulo com o eixo das abcissas. Vamos chamar este ângulo de θ e vamos considerá-lo como sendo o ângulo no sentido anti-horário (de fato, se considerássemos o sentido horário, teríamos um ângulo desnecessariamente muito maior).



Também é fácil perceber que a projeção da ordenada do ponto (a, b) sobre o eixo das abcissas forma um triângulo retângulo. Mas como podemos expressar a e b em função desse triângulo? Através da Trigonometria! Perceba que a = |z| . cos θ e b = |z| . sen θ. Desta forma, podemos reescrever z = a + bi como z = |z| . cos θ + |z| . sen θi. Colocando-se |z| em evidência, temos a famosa forma trigonométrica dos números complexos, z = |z|(cos θ + i senθ). Perceba que mudamos i de lugar e que essa forma também recebe o nome de coordenadas polares.


Para passarmos um número complexo de sua forma algébrica para sua forma trigonométrica, a primeira coisa que precisamos de fazer é calcular o seu módulo, o que pode ser feito através da fórmula  Módulo. A seguir, precisamos de obter o ângulo. Para tal, dividimos a pelo módulo e obtemos o valor do cosseno; a seguir, dividimos b pelo módulo e obtemos o valor do seno; com estes dois valores em mãos, consultamos uma tabela de trigonometria e obtemos o valor do ângulo. Caso os valores não estejam na tabela, utilize uma calculadora científica. Já para realizarmos o processo inverso, isto é, passar da forma trigonométrica para a forma algébrica, simplesmente calculamos os valores do seno e do cosseno, substituímos esses valores na fórmula e fazemos os devidos cálculos.


Na forma trigonométrica, dois números complexos z1 = |z1|(cos θ1 + i senθ1) e z2 = |z2|(cos θ2 + i senθ2) serão iguais se e somente se |z1| = |z2| e θ1 = θ2 + 2kπ para algum k inteiro.


Quanto às operações, não é usual fazermos adições e subtrações na forma trigonométrica. Assim, caso você precise realizar essas operações, o melhor a ser feito é converter os números para a forma algébrica e converter a resposta, novamente, para a forma trigonométrica.


Já a multiplicação e a divisão são bem fáceis de serem realizadas: a multiplicação consiste em multiplicar-se os módulos e somar-se os argumentos. Isso pode ser facilmente verificado pela sequência abaixo:




z1 . z2 = |z1|(cos θ1 + i senθ1) . |z2|(cos θ2 + i senθ2)


z1 . z2 = |z1||z2|(cos θ1 + i senθ1)(cos θ2 + i senθ2)


z1 . z2 = |z1||z2|(cos θ1cos θ2-senθ1senθ2+(cosθ1senθ2 + senθ1cosθ2)i)


z1 . z2 = |z1||z2|(cos (θ1 + θ2 ) + i sen (θ1 + θ2 ) )



De maneira similar, para dividirmos dois números complexos, dividimos seus módulos e subtraimos seus argumentos, ou seja:


z1 / z2 = |z1|/|z2|(cos (θ1 - θ2 ) + i sen (θ1 - θ2 ) )


Para elevarmos um número complexo z a uma enésima potência, podemos utilizar a fórmula de Moire, zn = |z|n(cos nθ +i sen nθ), sempre lembrando que , se n > 0, nθ será igual a θ + θ + ... + θ (n vezes); se n for igual a 0, θ será o ângulo nulo e se n < 0, nθ = (-θ) + (-θ) + ... + (-θ).

Comentários

  1. eu entendo melhor com a explicação com mais imagens.

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