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Tudo sobre Números Complexos (parte 1)

Quando os matemáticos se deparam com algum problema que não podem ser resolvido em algum conjunto numérico, eles ampliam esse conjunto para resolver esse problema. Assim, os números Reais foram criados para que algumas equações que não tinham soluções nos números racionais, como x2 = 2, pudessem ter algum resultado. No entanto, eles perceberam que algumas equações quadráticas permaneciam sem solução: aquelas que envolviam radicais de números negativos.


Extrair a raiz quadrada de números negativos era um problema que acompanhou a humanidade desde os primeiros tempos, quando era considerado algo impossível. Apenas em 1545 o matemático Cardan, ao procurar dois números cuja soma é 10 e cujo produto é 40, encontrou como resultado  5 mais ou menos raiz de -15, mas não foi capaz de compreender o resultado. No final do século seguinte, Wallis resolveu representar os números complexos de forma geométrica, mas parou por aí.  Foi apenas no final do século XVIII que estudos realizados por vários matemáticos da época culminaram no Teorema Fundamental da Álgebra, demonstrado por Gauss, o qual afirma que toda equação complexa definida no conjunto dos números complexos admite pelo menos uma raiz.


 


Formalmente, podemos definir o conjunto dos números complexos como C = RXR, ou seja, o produto cartesiano do conjunto dos números Reais por ele mesmo. Esta definição nos dá pares ordenados de números reais. Podemos, então, definir as seguintes operações neste corpo:




(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)


(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)



Com isso, afirmamos que C é um corpo. A associatividade e a comutatividade da adição são óbvias. O zero é o elemento (0, 0), pois para todo (a, b) em C temos que (a, b) + (0. 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b). Da mesma forma, o simétrico do par (a, b) é (-a, -b), pois (a, b) + (-a, -b) = (a - a, b - b) = (0, 0).


É fácil verificar a associatividade e a comutatividade da multiplicação. A unidade da multiplicação é (1,0) pois (a,b)(1,0)=(a,b). O inverso de (a,b), com a e b diferentes de 0, é a sobre a a²+b², menos b sobre a²+b².


Desta forma, um par (a,b) complexo pode ser definido como (a,b) =(a,0)+(b,0).(0,1). Pelas propriedades expostas anteriormente, é fácil verificar que (0,1)² = (01,0)² = -1. Desta forma, podemos dizer que o par (0,1) ao quadrado vale -1. Assim, podemos representar os números complexos utilizando apenas os pares (x,0) e o número (0.1). Vamos chamar este par especial de unidade imaginária e denotá-la por i. Assim podemos reescrever o par (a,b) como (a,b) = a + bi. Esta é, pois, a conhecida forma normal de um número complexo.


Como C = RXR e como podemos associar o conjunto dos números Reais a uma reta, podemos associar o conjunto dos números complexos a  um plano ordenado, chamado de Plano de Argand-Gauss, onde o eixo das abcissas corresponde à parte real do número complexo e o eixo das ordenadas à sua parte imaginária. É fácil perceber, então, que um número complexo z = a + bi nada mais é do que um vetor que sai da origem (0, 0) do sistema e vai até as coordenadas (a, b):


O plano dos números complexos


 


A a, chamamos parte real do número complexo e a indicamos por Re(a); a b chamamos de parte Imaginária do número complexo e a indicamos por Im(Z). Se b for igual a 0, dizemos que o número complexo é um número real; Se a for igual a 0, damos ao número complexo o nome de "imaginário puro".


Em sua forma normal ou algébrica, dois números complexos serão iguais se e somente se suas partes real e imaginária forem iguais. Assim, a1 + b1i = a2 + b2i se e somente se a1 = a2 e b1=b2.


A soma e a multiplicação dos números complexos na forma normal são análogas às operações definidas no início desse post: para somarmos, devemos somar suas respectivas partes real e imaginária. Desta forma, a1 + b1i + a2 + b2i = (a1 +a2) + (b1 +b2)i . A multiplicação é realizada da mesma maneira que a multiplicação de dois polinômios, lembrando sempre que i2=-1 e pode ser resumida pela fórmula (ac - bd) + (ad + bc)i.


O conjugado de um número complexo z = a + bi é denotado por conjugado de z = a + bi é z = a - bi e nada mais é do que o número complexo z com o sinal da parte imaginária invertido. Para dividirmos um número complexo por outro, a melhor maneira é proceder de maneira análoga à racionalização de radicais e escrever a divisão em forma de fração, multiplicando-a por outra fração cujos numerador e denominador são ambos iguais ao conjugado do denominador da fração original.


Como vimos, um número complexo nada mais é do que um vetor, Assim, o módulo de um número complexo z = a + bi nada mais é do que o comprimento ou a norma deste vetor e pode ser calculado através de  Módulo. Note que o resultado desta operação é um número real.


Para calcularmos as potências de i, devemos ficar atentos à tabela abaixo:


i0 = 1 (pois qualquer coisa elevada a 0 é 1);


i1 = i (pois qualquer coisa elevada a 1 é igual a ela mesma)


i2 = -1


i3 = i2 . i = -1 . i = -i


A partir deste ponto, os resultados começam a se repetir. Desta forma, calcular i elevado a uma potência x significa dividir x por 4 e tomar o resto como novo expoente.


Além da Matemática, os números complexos são utilizados em vários outros campos. Na Eletrônica, por exemplo, eles são utilizados para calcular a tensão e a corrente em circuitos que contenham capacitores e indutores, visto que estes dispositivos eletrônicos não obedecem à Lei de Ohm.


Na parte 2, vamos ver a forma trigonométrica dos Complexos. Deixe seus comentários!

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