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Raízes de um número complexo

Depois de toda a nossa jornada pelos números complexos, faltou dizer alguma coisa sobre as raízes complexas, ou o equivalente à operação de radiciação no corpo.


A dedução da fórmula das raízes segue abaixo: seja α um número complexo e n um número Natural maior ou igual a 1. Seja, ainda, zn = α. Com isso, temos que:


zn = α


α = r(cos θ + i . sen θ)


z = s(cos γ + i . sen γ)


Pela Fórmula de Moire, sabemos que zn = sn(cos nγ + i . sen nγ). Igualando isso a α temos que:


sn(cos nγ + i . sen nγ) = α = r(cos θ + i . sen θ)


Assim, é fácil perceber que sn = r e nγ = θ + 2kπ para algum k inteiro (caso você esteja se perguntando o porquê de adicionarmos 2kπ ao ângulo, lembre-se de que 2π é o equivalente a 360 graus em Radianos, assim, qualquer que seja o k em questão o ângulo sempre estará "no mesmo lugar" do original). Indo mais além, porém, é fácil perceber que  s é a raiz enésima de n e que gama é igual a teta + 2kpi sobre n. Assum, podemos chegar finalmente à fórmula...


Fórmula das raízes complexasCom isso, a raiz quadrada de um número complexo admitirá dois valores, a cúbica, três e assim por diante.


Um tipo especial de raiz complexas são as raízes complexas da unidade que nada mais são do que as soluções para a equação zn = 1, denotadas pela fórmula raízes enésimas da unidade, que nada mais é do que a mesma fórmula acima com o módulo igual a 1 e o ângulo igual a 0. O motivo que as torna especial é que, se você variar n, marcar os pontos das raízes enésimas e ligá-los, você vai obter um polígono de n lados inscrito no círculo trigonométrico! Experimente!


Com isso, terminamos (por enquanto) nossa jornada pelos números complexos. Peço desculpas por não estar atualizando o blogue com tanta frequência, afinal, estamos no fim do semestre.

Comentários

  1. This is the penalize Adult web Step into this journal for anyone who wants to act out out virtually this message. You mention so overmuch its nigh tiring to contend with you not that I truly would want.HaHa. You definitely put a new acrobatics on a message thats been backhand about for age. Good push, but eager!

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