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O Algorítimo da Divisão Euclidiana

Euclides foi um famoso matemático grego que viveu em aproximadamente 300 a.C. Foi ele quem escreveu a obra Os Elementos, que definem os alicerces para a Geometria que vemos nos ensinos Fundamental e Médio e que também é utilizada em várias áreas, como engenharia, design e construção civil.


Fora da Geometria, Euclides descobriu um teorema o qual nos permite dividir qualquer número Natural por outro - e você certamente o conhece desde o início de sua vida escolar. Ele se baseia na ideia de divisibilidade a qual acabamos de ver e tem por objetivos responder a uma simples pergunta: Se a e b são números Naturais e b não divide a, qual será o múltiplo de b que mais se aproxima de a? A resposta a esta pergunta está em um teorema o qual afirma que, se a e b são números Naturais, então existem e são únicos os números Naturais q e r tais que a = q . b + r, sendo que r é menor do que b.


Chamamos a q de quociente e a r de resto. A condição de que o resto seja menor do que o divisor b nos garante que o quociente será único. Caso não fizéssemos essa restrição, a divisão de a por b poderia ter infinitos resultados.


Como vimos no exemplo anterior, 3 não divide 8. Assim, podemos utilizar o algorítimo da divisão euclidiana e concluir que 8 = 2 . 3 + 2, ou seja: 6, 3 . 2, é o múltiplo de 3 que mais se aproxima de 8. Nesta expressão, perceba que q = 2 e r = 2 e, ainda, que o valor de r é menor do que o divisor 3. Caso não considerássemos a condição r < b, também poderíamos escrever que 8 = 1 . 3 + 5 ou que 8 = 0 . 3 + 8 e, se considerássemos o conjunto dos números inteiros, Z, teríamos mais infinitas possibilidades. Desta forma, garantimos a unicidade do resultado ao considerar que o resto sempre deverá ser menor do que o divisor. Perceba, ainda, que se a for múltiplo de b, o resto será igual a 0 e a divisão será dita exata.

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