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Equação da reta

Conforme já vimos, se você somar um ponto A com um vetor [latex]overrightarrow{u}[/latex], você obterá um outro ponto X, que nada mais será do que a translação do ponto A, original, pelo vetor [latex]overrightarrow{u}[/latex].



Agora, imagine que multipliquemos o vetor [latex]overrightarrow{u}[/latex] por um escalar λ. Temos, aqui, cinco possibilidades:




  • Se 0<λ<1, o ponto X ficará localizado em algum lugar entre o ponto A e a localização do ponto X original;

  • Se λ = 1, então o comprimento do vetor [latex]overrightarrow{u}[/latex] não se alterará e o ponto X será a translação de A por este vetor;

  • Se λ > 1, o ponto X ficará localizado após o ponto X original.

  • Se λ =0. o ponto X será igual ao ponto A;

  • Se λ < 0, X será localizado antes de A.


Desta forma, podemos facilmente perceber que, se variarmos λ no conjunto dos números Reais, teremos criado um lugar geométrico para os pontos X originários da translação [latex]A+lambdaoverrightarrow{u}[/latex]. Este lugar geométrico será uma reta e sua equação é [latex]X = A+lambdaoverrightarrow{u}[/latex], onde X é o ponto variável da reta; A é o ponto fixo da reta, λ é o chamado parâmetro e [latex]overrightarrow{u}[/latex] é o chamado vetor diretor, ou seja, o vetor que dá a direção da reta. Fazendo uma analogia com a Física, o vetor diretor seria a velocidade e o parâmetro λ seria o tempo.


Se estivermos em um sistema de coordenadas (Ponto O + Base), podemos reescrever a equação da reta como:


(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(a, b, c)


Onde (x, y, z) são as coordenadas de X, (x0, y0, z0) são as coordenadas de A e (a, b, c) são as coordenadas do vetor diretor. Com essas informações em mão, podemos reescrever essa estranha equação na forma de um sistema de equações lineares:


Equação Paramétrica da Reta


Esta é a chamada equação paramétrica da reta. Ela é muito útil pois facilita a visualização das informações, afinal, a primeira coluna são as coordenadas do ponto variável X; a segunda, as coordenadas do ponto fixo A e a terceira possui as coordenadas do vetor diretor.


Há, ainda, outro tipo de equação da reta, considerado "estranho": trata-se da equação simétrica, que é obtida ao isolarmos o parâmetro λ em cada uma das equações e igualá-las a seguir. Logo, a forma da equação simétrica da reta é


Equação simétrica da reta


A maior vantagem da equação simétrica da reta em relação às outras é que ela torna o vetor diretor bastante evidente: as coordenadas de tal vetor são os denominadores de cada fração. É importante notar que essa equação é apenas uma representação da informação e não uma divisão em si. Esta equação, porém, só pode ser obtida se nenhuma das coordenadas do vetor diretor da reta for nula.


Para passar da equação paramétrica para a equação simétrica da reta, isola-se o parâmetro; Para passar da equação simétrica para a paramétrica, devemos fazer o processo inverso, ou seja, colocar o parâmetro em cada uma das igualdades e "desisolá-lo".


Para verificarmos se um ponto pertence a uma reta, devemos substituir suas coordenadas nas do ponto X e verificar se não haverá nenhuma contradição. Por exemplo, se ao substituir as coordenadas de um ponto (5, 0, 1) em uma equação paramétrica e obtivermos, na primeira equação, que 5 = λ, o que significa que a primeira coordenada do ponto fixo A é 0 e a primeira coordenada do vetor diretor é 1, e na segunda equação que 0 = 1 + λ, veremos que aquele ponto não pertence àquela reta, pois em uma equação λ é igual a 5 e, na outra, o mesmo λ é igual a -1.

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