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A equação do plano

A equação do plano é muito similar à da reta, com a única diferença de que, ao invés de termos apenas um vetor diretor, temos dois. A equação, pois, é X = A + Lambda u + mu v, onde X é um ponto variável do plano, A é um ponto fixo, u e v são os vetores diretores e λ e μ são seus respectivos parâmetros.



Da mesma forma, também podemos escrever a equação paramétrica do plano como sendo:


Equação paramétrica do plano


Onde (x, y, z) são as coordenadas do ponto variável, (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto fixo, (a, b, c) são as coordenadas do primeiro vetor diretor e (m, n, p), as do segundo.


Além das equações vetorial e paramétrica, o plano possui um outro tipo de equação, chamado de equação geral, dada por π : αx + βy + γz + δ = 0. Nesta equação, α, β e γ são as coordenadas do vetor normal, que nada mais é do que um vetor perpendicular ou ortogonal a todos os outros vetores do plano e que pode ser obtido através do produto vetorial entre os dois vetores diretores de π. Perceba que todos os outros planos paralelos a π compartilham do mesmo vetor normal e o que os diferencia é o parâmetro δ. Se δ for igual a 0, isso significa que o plano π passa pela origem do sistema de coordenadas; De forma similar, caso α, β ou γ sejam nulos, o plano em questão será paralelo ao eixo coordenados correspondente. É fácil perceber que, se dois dos valores de α, β ou γ forem iguais a 0, o plano será paralelo ao plano coordenado correspondente.


Para passarmos da equação geral para a paramétrica, fazemos α = λ e β = μ, por exemplo, isolamos as variáveis e montamos um sistema. Já para passar da paramétrica para a geral basta calcular o determinante


determinante

Comentários

  1. Christiane Bellorio2 de novembro de 2011 08:13

    Bem básico e prático seu artigo, mas para ficar melhor precisaria de exemplos e gráficos.

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  2. como verificar se os pontos A, B, C definem um plano?

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  3. Olá, Lexy!

    Basta verificar se eles não são colineares. Por exemplo: uma tripla de pontos (0,0), (1,1), (2,2) são colineares e, portanto, não definem um plano. Já (0,0), (1,0) e (0,1) não são colineares e definem um plano.

    Abraços.

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  4. Não entendi como se passa da equação geral para a paramétrica.

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  5. De fato, acho que fui muito breve na explicação.

    A equação geral possui a forma X = A + bu + cv, onde u e v são vetores e a é um ponto. A pode ser escrito como (x0, y0, z0) no sistema de coordenadas escolhidos e os vetores podem ser escritos como u = (a, b, c) e v = (m, n, p). Assim, pode-se reescrever a equação como X = (x0, y0, z0) + b(a, b, c) + c(m, n, p). Com isso, você pode montar o sistema mostrado no artigo.

    []s

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