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Produto vetorial

Bem, gente, o blogue ficou parado por algumas semanas porque meu computador havia estragado mas, agora, estou de volta. Vamos tocar o barco em frente: hoje, vamos falar de um assunto importante: o produto vetorial.


O produto vetorial é muito parecido com o produto escalar e, por isso, muitos confundem os dois, mas ambos são totalmente distintos.


Dados dois vetores, [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex], chama-se produto vetorial entre [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] o vetor denotado por [latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex] caracterizado por:



a) [latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex] = [latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{0}[/latex] se os vetores [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] forem linearmente dependentes.


b) Se [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] forem linearmente independentes, então [latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex] será um vetor ortogonal a [latex]overrightarrow{u}[/latex] e a [latex]overrightarrow{v}[/latex] cuja norma corresponderá à área de um paralelogramo definida pelos dois vetores, isto é: ||[latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex]|| = ||[latex]overrightarrow{u}[/latex]|| . ||[latex]overrightarrow{v}[/latex]|| . sen θ.


Note, aqui, as importantes diferenças entre o produto escalar e o produto vetorial: o produto escalar é um número real (escalar) associado aos dois vetores, enquanto o produto vetorial é um vetor associado a ambos. Além disso, a fórmula do produto escalar tem o cosseno e a do vetorial, o seno.


Também é possível calcular o produto vetorial em um sistema de coordenadas. Sendo ([latex]overrightarrow{i}[/latex], [latex]overrightarrow{j}[/latex], [latex]overrightarrow{k}[/latex]) uma base ortonormal positiva e sendo [latex]overrightarrow{u}[/latex] = (a,b,c) e [latex]overrightarrow{v}[/latex] = (d,e,f), o produto vetorial emtre [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] pode ser calculado por:


[latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex] = Produto vetorial em coordenadas


 


Ainda, o produto vetorial apresenta as seguintes propriedades:


1) [latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex] = - [latex]overrightarrow{v}[/latex]^[latex]overrightarrow{u}[/latex]


2) [latex]overrightarrow{u}[/latex]^(λ[latex]overrightarrow{v}[/latex]) = λ([latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex]) = (λ[latex]overrightarrow{u}[/latex])^[latex]overrightarrow{v}[/latex]


3) [latex]overrightarrow{u}[/latex]^([latex]overrightarrow{v}[/latex] + [latex]overrightarrow{w}[/latex]) = [latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{v}[/latex]+[latex]overrightarrow{u}[/latex]^[latex]overrightarrow{w}[/latex]


Cabe ressaltar, ainda, que o produto vetorial não é associativo entre si, apenas com o escalar.

Comentários

  1. Olá André, gostaria de saber se é possível me demostrar ou pelo menos me dar uma orientação de como demonstrar a seguinte igualdade:

    uˆ(vˆw) = .v - .w

    onde u,v e w são vetores do espaço e é o produto interno entre u e v.

    Neste site ela aparece como uma das propriedades do produto escalar, porém não encontro a demonstração em lugar nenhum.

    http://pt.newikis.com/books_Cálculo_(Volume_2)/Geometria_tridimensional/Vetores_e_produtos.html

    Desde já agradeço pela atenção.

    Diego Rangel

    ResponderExcluir
  2. Olá eu não entendi muito bem qual é a propriedade que você quer que eu demonstre, poderia escrevê-la no http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php ? Obrigado,

    ResponderExcluir
  3. Está ai a fómula escrita no codecogs:
    u times left ( v times w right )= left langle u,w right rangle v - left langle u,v right rangle w

    Eu encontrei a mesma em um site com o nome de Fórmula de Lagrange ou Identidade de Lagrange.
    Mas em nenhuma fonte em que pesquiso existe a demonstração.

    Diego Rangel

    ResponderExcluir
  4. Consegui encontrar uma demonstração. Veja se é isso: http://www.andremachado.blog.br/2011/10/demonstracao-da-formula-de-lagrange/

    ResponderExcluir
  5. […] leitor Diego postou um comentário no artigo sobre Produto Vetorial pedindo para que fosse demonstrada a igualdade (u^v)^w = -(v.w)u+(u.w)v, onde u, v e w são […]

    ResponderExcluir

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