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De onde veio a fórmula de Bhaskara?

A Fórmula de Bhaskara é um dos métodos mais conhecidos para se resolver equações quadrátricas, mas não é o único. O problema é que muitos professores dos ensinos fundamental e médio simplesmente entregam a fórmula pronta para os alunos sem dar maiores detalhes sobre sua origem ou dedução. Você sabe de onde ela veio e por que ela funciona?


Os problemas que envolvem a resolução de equações quadráticas são muito antigos. Alguns dos primeiros datam de mais de quatro mil anos, propostos pelos antigos babilônios, que tinham por finalidade encontrar dois números conhecidos sua soma e seu produto, ou seja, encontrar os lados de um retângulo dados seu semi-perímetro e sua área. Este povo conseguia resolver o problema através de uma regra ditada em versos:




Eleve ao quadrado a metade da soma, subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da diferença. Some ao resultado a metade da soma. Isso dará o maior dos números procurados. Subtraia-o da soma para obter o outro número.



Até o fim do século XVI, não havia uma fórmula específica para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Ainda hoje alguns povos, como os japoneses, não utilizam a fórmula de Bhaskara - a qual alguns historiadores acreditam não ter sido criada por ele - para encontrar as raízes: eles utilizam outro método, chamado completamento de quadrados. É através deste método que podemos chegar à famigerada fórmula.


Partamos da equação ax2 + bx + c = 0, com a diferente de 0. Vamos colocar a em evidência nos dois primeiros termos:


ax²+bx+c=0


a(x²+b/ax)+c


Vamos multiplicar [latex]frac{b}{a}[/latex] por [latex]frac{2}{2}[/latex]:


a(x²+2(b/2a)x)+cAgora, vamos adicionar e subtrair o termo [latex]frac{b^2}{4a^2}[/latex] ao termo que multiplica a, preservando a igualdade:


a(x²+2(b/2a)x+b²/4a²-b²/4a²)+c=0


Perceba que podemos reescrever os três primeiros termos que são multiplicados por a em um quadrado da soma:


a[(x+b/2a)²-b²/4a²]+c=0


Distribuindo a,


Fórmula


Somando os últimos dois termos, temos:


Fórmula


Agora. vamos "passar" o termo independente para o outro lado e vamos "passar a dividindo":


Fórmula


Precisamos extrair a raiz quadrada dos dois termos da equação:


Fórmula


 


Fórmula


Removendo o módulo, temos que:


Fórmula


Isolando o x, resulta que:


Fórmula


E como as duas frações do segundo membro da igualdade tem o mesmo denominador, finalmente chegamos a...


Tcham-tcham-tcham-tcham!


Desta forma, demonstramos de onde vem a tão famigerada fórmula de Bhaskara.

Comentários

  1. Curioso, nunca tinha visto a dedução desta fórmula.
    Interessante!

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  2. É interessante saber das deduções porque daí sabemos de onde as fórmulas vem e deixamos de apenas decorá-las.

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  3. legal a postagem , mais não diz o pq...então pra mim continua tao sem origem quanto o que eu aprendi no ensino médio...mas vlw

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  4. Samara Magalhães21 de maio de 2014 16:26

    Me responda , como saímos da forma algébrica e chegamos á fórmula de Bháskara e Delta?
    Também queria esclarecer de onde vem vértice e como usa-la?

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  5. Olá! Ótimo artigo, bem detalhado.

    Fiquei em dúvida apenas na parte que diz "Distribuindo a", onde o a do denominador -b²/4a² perdeu o expoente 2, passando a ser -b²/4a e não entendi o porquê.

    E algo que ficou no ar é, por que, aos dois lados da equação, adicionaram e multiplicaram determinados números que levariam alguns membros a se disporem em um trinômio quadrado perfeito. Qual seria a importância de transformá-los nesse trinômio? Quero dizer, no inicio do procedimento, b/a foi multiplicado por 2/2 propositalmente, o que levou posteriormente ao trinômio quadrado perfeito. Por que não multiplicaram, por exemplo, por 3/3 ou 4/4?

    Obrigado pelo compartilhamento desses conhecimentos! Abraço!

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  6. Olá, Juan!

    Na parte do "distribuindo a", o denominador perde o a² justamente pelo fato de termos distribuído o a. Perceba que, ao realizarmos a multiplicação, o mesmo fica -ab²/4a². Desta forma, cancela-se o a do numerador com o a² do denominador, sobrando o a.

    A adição dos termos que citaste é uma manipulação algébrica para transformar a expressão em um trinômio quadrado perfeito - é por isso que a técnica se chama completamento de quadrado ;). No caso, não podemos alterar a igualdade, então, se multiplicarmos algo, deve ser por algum valor equivalente à unidade e se adicionarmos algo, seremos obrigados a subtraí-lo.

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