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Relações entre conjuntos

Uma relação entre dois conjuntos A e B nada mais é do que um subconjunto do produto cartesiano destes dois conjuntos. É através das relações que podemos definir ordem, equivalência e funções.




Par ordenado e conjunto cartesiano


Sabemos que dois conjuntos são iguais se um está contido no outro, reciprocamente. Assim, em um conjunto normal, a ordem dos elementos não importa; logo, o conjunto A={a,b} é igual ao conjunto B={b,a}. No entanto, quando falamos de par ordenado, estamos falando de um conjunto binário onde se respeita a ordem dos elementos. Assim, o par ordenado A=(a,b) é diferente do par ordenado B=(b,a).


Já o produto cartesiano de dois conjuntos A e B, denotado por AXB, é o conjunto de pares ordenados (a,b) tal que a pertence ao conjunto A e b pertence ao conjunto b. Geralmente, AXB é diferente de BXA. O produto cartesiano de dois conjuntos será o conjunto vazio se pelo menos um dos conjuntos for o conjunto vazio.


Se A e B forem conjuntos finitos, a cardinalidade - isto é, o número de elementos - do produto cartesiano de AXB será - esta sim - igual à cardinalidade de BXA e poderá ser calculada por: #(AXB) = #(BXA) = #(A) . #(B).



Relações


Conforme já foi dito, uma relação entre dois conjuntos A e B nada mais é do que um subconjunto qualquer do produto cartesiano destes dois conjuntos. Sendo A e B dois conjuntos e R uma relação, denotamos-a por R está contido em AxB, a pertence a A e b pertence a B, aRb ou (a,b) pertence a R.


Por exemplo: seja A={1,2} e B={3, 4}. AXB ={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. Qualquer subconjunto deste AxB é uma relação. Por exemplo: se dissermos (a,b) pertence a R se a divide b, teremos R={(1,3),(1,4),(2,4)}, mas poderíamos utilizar qualquer outro subconjunto, inclusive o conjunto AXB.



Propriedades das relações


Seja R uma relação definida por R contido em AXA, ou seja, uma relação no produto cartesiano de um conjunto por ele mesmo:




  • R é dita reflexiva se para todo a pertencente a A, (a,a) pertence a R, ou seja, se no conjunto A existe um elemento, digamos, 5, o par (5,5) deve pertencer à relação;

  • R é dita simétrica se Para todos a e b pertencentes a A, se (a,b) pertence a R, então (b,a) pertence a R, isto é, se na relação existe um par (3,4), a mesma relação deve, também, conter um par (4,3);

  • R é dita transitiva se Se (a,b) e (b,c) pertencem à relação, então (a,c) pertence à relação, quer dizer: se a relação tem um par(1, 46) e outro par (46, 24), então (1, 24) deve estar na relação junto aos outros dois;

  • R é dita anti-simétrica se se (a,b) e (b,a) pertencem a R, então a = b.


Perceba que a relação anti-simétrica possui uma "pegadinha": a princípio, todos pensam que ela é igual à relação reflexiva, afinal, se um par (a,b) e outro (b,a) pertencem a uma relação R, então a deve ser igual a b - o que seria a relação simétrica e nos daria apenas pares (a,a) - mas basta fazer sua negação para ver que a relação anti-simétrica é maior do que isso: se a é diferente de b e (a,b) pertence à relação R, para que R seja anti-simétrica, (b,a) não pode pertencer a R! Assim, dado um conjunto A={1,2,3}, um exemplo de relação anti-simétrica seria algo como R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)}. Perceba que o par (1,2) está na relação mas (2,1) não está, o mesmo valendo para (2,3).



Relação de Ordem


Se uma relação R for, ao mesmo tempo, Reflexiva, Anti-Simétrica e Transitiva (RAT), R é uma relação de ordem. A relação de menor ou igual no conjunto dos números naturais é um exemplo de relação de ordem. Se A é um conjunto sobre o qual existe uma relação de ordem definida, dizemos que A é um conjunto ordenado. Se, para todos os a e b pertencentes a A, temos sempre que a é menor ou igual a b ou a é maior ou igual a b, dizemos que A é um conjunto totalmente ordenado, caso contrário, dizemos que a é parcialmente ordenado.


Relação de Equivalência


Se uma relação R for, ao mesmo tempo, Reflexiva, Simétrica e Transitiva (RST), ela é uma relação de equivalência. A igualdade entre os números naturais ou a equipolência entre os vetores são exemplos de relações de equivalência.



Classes de equivalência


Sendo A um conjunto não vazio e R uma relação sobre A, a classe de equivalência representada por a é o conjunto de todos os b pertencentes a a tal que a está relacionado com b, ou seja, b pertence a A tal que b está relacionado com a. Além disso, o conjunto quociente de A é o conjunto de todas as classes de equivalência de A. A união de todas as classes de equivalência de um conjunto A resultará no próprio conjunto A.

Comentários

  1. Vlw pelas informações!
    Finalmente entendi o que é anti-simetria

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  2. Valeu! Desse jeito, vamos aprendendo juntos!

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  3. Muito bom, a melhor explicação que achei na internet, inclusive melhor que a do meu professor em sala .-.

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  4. nossa!!! entendi o q é anti simetria!! muuuuito obrigada!

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  5. O que significa esses A de cabeça pra baixo nas propriedades das relações?

    Obrigado.

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  6. Esse é um símbolo que significa "para todo".

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  7. Muito bom,tudo muito certinho estou vendo coisas que nem lembrava mais.
    Realmente dessa forma fica facil de entender obrigsdo.

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  8. Obrigada, muito bom, parabéns pelo trabalho :), tudo muito bem explicado. Só faltou irreflexiva e assimétrica mas já que são os opostos de reflexiva e simétrica já fica subentendido rs, valeu.

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  9. Gostei muito! Conheci seu site por este post, obrigada por isso!

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