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O que são anéis?

Já vimos que, se em um conjunto, tivermos uma relação que é, ao mesmo tempo, reflexiva, anti-simétrica e transitiva, esta relação será uma relação de ordem e que o conjunto em questão é ordenado. Mais ainda, se R for a relação e sempre tivermos aRb ou bRa, dizemos que esta relação de ordem é total e, em caso contrário, parcial. A relação de ordem, junto à definição de anéis, nos permite definir formalmente o conjunto dos números inteiros.



Seja A um conjunto e suponha que este conjunto possua duas operações: a adição, denotada por +, e a multiplicação, denotada por . (a subtração e a divisão são apenas casos particulares da adição e da multiplicação). Dizemos que A é um anel se as operações de + e . obedecerem as seguintes propriedades:


Adição:




  • A1: A Adição é associativa, isto é, para quaisquer a, b e c pertencentes a A, temos sempre que a + ( b + c ) = ( a + b ) + c;

  • A2: A Adição é comutativa, ou seja, a + b = b + a;

  • A3: A adição possui um elemento neutro, isto é, existe um x pertencente a A tal que x + a = a;

  • A4: Existência do simétrico: para todo elemento a de A, existe um elemento a' que, somando com a, dá o elemento neutro x.


Multiplicação:

  • M1: A multiplicação é associativa: de maneira similar à adição, temos que a . ( b . c ) = ( a . b ) . c;

  • M2: A multiplicação é comutativa, isto é: a . b = b . a;

  • M3: A multiplicação possui um elemento neutro, diferente do elemento neutro da adição;

  • M4: A multiplicação é distributiva em relação à adição, ou seja, a . ( b + c ) = ab + ac.


O elemento neutro da adição e o elemento neutro da multiplicação são únicos (e distintos). De fato, se existissem dois elementos neutros distintos para a adição, digamos n e n', poderíamos escrever n = n' + n e n' = n + n'. Pela propriedade A2, temos que n = n'. Um raciocínio similar pode ser feito para a multiplicação. Chamamos o elemento neutro da adição de 0 e o da multiplicação de 1.


O simétrico, por definição, é o elemento que, somado ao seu correspondente resulta no elemento neutro da adição. Este simétrico é único. De fato, se a' e a'' fossem os simétricos de um elemento a, teríamos que a'' = 0 + a'' = (a' + a+ + a'' = a' + (a + a'') = a' + 0 = a'. Vamos denotar o simétrico do elemento a por -a. Desta forma, definimos a subtração, pois a - b nada mais é do que a somado com o simétrico de b, ou seja, a + (-b).


Já o inverso de um número é o elemento que, multiplicado ao seu correspondente, resulta no elemento neutro da multiplicação. É possível adaptar a demonstração acima para provar que o inverso de um número é único. Se umanel possui inverso multiplicativo, ele é chamado de corpo.


Cabe notar que os números naturais não possuem simétrico e os números inteiros não possuem inverso.


Caso a operação multiplicativa do conjunto em questão possua uma propriedade M5 adicional, a qual diz que, se a é diferente de 0 e b é diferente de 0, então a.b é diferente de 0, dizemos que o anel é um domínio de integridade. Além disso, se no anel em questão existir uma relação de ordem total compatível com a adição e com a multiplicação, dizemos que o anel é bem ordenado.


Com isso, podemos dizer que [Z, +, -. <] é um domínio ordenado. No entanto, ainda não terminamos: no próximo post, vamos ver o que são anéis bem ordenados e o princípio da boa ordenação. Até lá!

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