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O Princípio da Boa Ordenação

No post anterior, definimos o que é um anel e vimos que, se a multiplicação, em um anel, possuir a propriedade que, dados dois elementos do conjunto diferentes de zero, sua multiplicação será diferente de zero, o anel será um domínio de integridade e que, se houver uma relação de ordem total compatível com a adição e com a multiplicação, o anel é bem ordenado. Agora, vamos definir o Princípio da Boa Ordenação.



Conjuntos limitados superiormente e inferiormente


Um subconjunto B de um anel A será limitado inferiormente se existir um elemento [latex]a in A[/latex] tal que, para todo elemento [latex]x in B[/latex] tenha-se que [latex]x geq a[/latex], ou seja, se sempre existir um elemento do subconjunto B que seja maior do que qualquer elemento do anel A. De forma similar, se preservadas as condições anteriores tivermos que [latex]x leq a[/latex], dizemos que o subconjunto B é limitado superiormente.



Menor e Maior elementos


Dizemos que o subconjunto B possui um menor elemento se esse conjunto possuir um elemento x que seja menor do que qualquer outro elemento deste conjunto ou, matematicamente falando, Existe x em B tal que para todo y em B, y é maior ou igual a x. De forma similar, dizemos que B possui um maior elemento se este conjunto tiver um elemento x' que seja maior do que qualquer outro elemento seu, isto é, Existe x' em B tal que para todo y em B, y é menor ou igual a x'.


Sem perda de generalidade, o menor elemento de um subconjunto B de um anel A é único. De fato, se B tivesse dois menores elementos, digamos m e m', teríamos que [latex]m leq m'[/latex] e [latex]m' leq m[/latex] o que, pela propriedade anti-simétrica, implicará que m = m'. Denotamos o menor elemento de um subconjunto B por min B e o maior elemento por max B.



Princípio da Boa Ordenação


O Princípio da Boa Ordenação nos diz que todo subconjunto não vazio do anel A que for limitado inferiormente possui um menor elemento. De forma recíproca, podemos dizer que todo subconjunto não vazio de A limitado superiormente possui um maior elemento. Se o domínio A tiver essa propriedade, ele é um domínio bem ordenado.


Demonstração: Seja [latex]varnothing neq B subset A[/latex]. Seja B' = {-x, x pertence a B}. Desta forma, B é limitado inferiormente se e somente se B' é limitado superiormente. Ainda, B possui um menor elemento se e somente se B' possui um maior elemento: tem-se que min B = - max B'.


Com isso, definimos que o conjunto dos Inteiros é um domínio bem ordenado.

Comentários

  1. essas palavras latex entre colchetes siginifica o q ? não consegui entender tal explicação devido a isso.

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