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Mudança de base de vetores

Já vimos que uma base é uma tripla de vetores linearmente independentes, isto é, não coplanares, que geram o Espaço. Através de uma base, podemos criar um sistema de coordenadas para os vetores, sendo que estas nada mais serão do que os coeficientes &lamnda; dos vetores integrantes da base que geram o vetor em questão. Vimos, ainda, que uma base é um recurso totalmente artificial, criado pelo homem. Assim, podemos criar as bases que acharmos mais convenientes.


Agora, imagine a situação ilustrada pela figura a seguir:


Um vetor na base E e uma base F


Nela, vemos um vetor [latex]overrightarrow{v}[/latex] na base E formada pelos vetores (e1,e2,e3). Ele possui suas coordenadas nesta base. Vamos supor que as coordenadas de [latex]overrightarrow{v}[/latex] na base E sejam (1,2,3). Agora, digamos que exista uma outra base F, formada pelos vetores (f1,f2,f3), conforme a figura acima.


Surge, então, a pergunta natural: quais serão as coordenadas do vetor [latex]overrightarrow{v}[/latex] na base F?



Coordenadas e matrizes


Geralmente, as coordenadas de um vetor são escritas como uma tripla de números separados por vírgulas entre parênteses. No entanto, é possível escrever tais coordenadas na forma de uma matriz coluna. Assim, as coordenadas de v serão:


Matriz coluna das coordenadas de v


Como queremos expressar as coordenadas de v, que está na base E, na base F, devemos utilizar uma matriz de mudança de base, que é única e só depende das bases, a qual nos permitirá fazer a "tradução" das coordenadas de uma base em outra. Vamos supor que a matriz de mudança de base de E para F (vamos aprender a calculá-la em seguida) seja:


Matriz de mudança de base


Desta forma, para obtermos as coordenadas de v na base F, basta multiplicarmos esta matriz pela matriz coluna das coordenadas originais de v:


Mudança de base


Logo, as coordenadas de v na base F são (8,8,3).



Como escrever a matriz de mudança de base?


Primeiro, devemos escrever as coordenadas dos vetores que formam a base E na base F (nos exercícios, esta informação geralmente será dada) na forma de um sistema. Isto nos permitirá criar uma matriz. A matriz de mudança de base será, pois, a transposta desta matriz obtida.


Por exemplo, seja escrever a matriz de mudança de base da base F=(f1,f2,f3) na base E=(e1,e2,e3), sabendo-se que f1=(-3,1,1), f2=(1,-2,1) e f3=(1,2,0).


Vamos montar um sistema com as coordenadas da base F informadas:


Sistema de coordenadas

Vamos escrever uma matriz com os valores dos coeficientes de e1, de e2 e de e3:

Matriz de coordenadas


Agora, vamos transpor a matriz anterior:


Matriz transposta de coordenadas


Esta última matriz é a matriz de mudança de base (para evitar confusão, você pode ignorar o penúltimo passo e escrever a matriz transposta diretamente). Dica: se você achar que vai se confundir com a matriz transposta, escreva as coordenas dos vetores da base F na forma de matrizes colunas lado a lado e junte tudo - não é oficial, mas é mais fácil ;)

Comentários

  1. Muito didático!
    Obrigado.

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  2. Olá, sou aluno de licenciatura em matemática também e estou com uma dúvida. Estava tentando resolver um exercício de mudança de base e através da relação exposta acima não foi possível chegar a resposta do mesmo. Porém, trocando a posição do vetor de coordenadas em E com o que eu desejava encontrar (no caso coordenadas em F), foi possível obter a resposta mesmo. Essa troca de posição foi confirmada pela relação encontrada nesta apostila: http://pt.scribd.com/doc/53277115/35/Matriz-de-mudanca-de-base

    Se houve algum equivoco você poderia me explicar?

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  3. Bem, Diego, eu não sei quais foram os nossos erros, mas o que eu disse, ou o que eu quis dizer, foi exatamente o que está nessa apostila que você indicou, Perceba que, na apostila, o autor escreve as coordenadas de cada um dos vetores da nova base em relação à antiga como a11, a21, a31... e depois transforma cada uma dessas coordenadas em uma coluna da matriz de mudança de base. Você também pode escrever essas coordenadas como uma matriz coluna e unir todas elas ao final. Passe o exercício para que eu dê uma olhada.

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  4. Você tem algum e-mail que eu possa enviar o arquivo em pdf com o exercício? Porque devido as fórmulas matemáticas do enunciado está muito difícil de escreve-lo aqui.

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  5. Quanto a apostila que mandei no link. De acordo com o exemplo 3.46 da mesma, a relação matricial é:

    [Matriz de coordenadas em E] = [Matriz de mudança de E para F] X [Matriz de coordenadas em F]

    E pelo exemplo exposto acima seria:

    [Matriz de coordenadas em F] = [Matriz de mudança de E para F] X [Matriz de coordenadas em E]

    Pelo menos isso foi o que eu entendi. Desde já agradeço a sua atenção e gostaria de parabenizá-lo pelo seu trabalho de divulgação da matemática.

    Abraços.

    Diego Rangel

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  6. Já sei qual foi o erro. Acontece que houve uma confusão com a notação a qual eu aprendi. Quando eu escrevo, por exemplo MEF, eu estou dizendo que a matriz é de F para E e não de E para F. Para esclarecer melhor, veja esse desenho: https://i.imgur.com/O6O2c.png Perceba a posição dos vetores f, dados, como coluna.

    Acho que era isso!

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  7. Beleza, achei que o problema era realmente com o tipo de notação que estava sendo utilizado. Muito obrigado pela ajuda!

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  8. André você poderia me dizer se existe alguma rela entre as matrizes de mudança de base: Mef e Mfe. Se eu tendo um eu posso achar a outra por exemplo sem muito esforço.

    Desde já agradeço.

    Diego Rangel

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  9. Sim, pode. Em especial, a matriz de mudança de base Mee ou Mff é a matriz identidade. Se você tem a matriz de E para F, a inversa desa matriz é a matriz de F para E. Além disso, há a regra que diz que se M é a matriz de mudança de E para F e N é a matriz de mudança de F para G, então a matriz M.N é a matriz de mudança de E para G.

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  10. Muito Obrigado pela explicação!

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  11. Poderia me ajudar com esse exercicio:
    g1=e1+e2-3e3
    g2=2e2+3e3
    g3=3e1+e3

    a. escreva a matriz mudança de base G para E
    b. exprima o vetor u=e1+3e2+2e3 na base G

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