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Como calcular o ângulo entre dois vetores?

Considere a seguinte situação: temos dois vetores, [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] e três pontos não colineares, O, P e Q. Seja OP um representante de [latex]overrightarrow{u}[/latex] e OQ um representante de [latex]overrightarrow{v}[/latex]. Temos, então, a figura abaixo:


Ângulo entre dois vetores


Como sabemos, θ é o ângulo entre os vetores [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex]. A pergunta natural que surge é: como calcular seu valor?



Primeiro, vamos considerar que [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] estão em uma base ortonormal (i,j,k) e que suas coordenadas são u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Como a base é ortonormal, a norma dos vetores é a raiz quadrada da soma do quadrado de suas coordenadas. Desta forma, ao aplicarmos a Lei dos Cossenos no triângulo POQ, temos que:


||QP||²=||u||²+||v||²-2||u||||v||cos θ


Porém, como QP = u - v, temos que:


||QP||²=||u - v||² = ||(x1-x2, y1-y2, z1-z2)||²


Daí, temos que:


||QP||²=(x1-x2)² + (y1-y2)² + (z1-z2)²


Desenvolvendo a equação e substituindo-a na primeira equação obtida, obtemos:


||u||||v||cos θ = x1x2 + y1y2 + z1z2


Poderíamos parar por aqui, mas precisamos definir uma nova operação, chamada de produto escalar, denotada por:


u.v será igual a 0 se u ou v forem iguais a 0 ou será ||u||||v||cos θ se u e v forem ambos diferentes de 0


Com esta definição, podemos fazer uma substituição na fórmula anterior e, ao isolarmos o cosseno do ângulo, obteremos que:


cos θ = u . v / ||u||||v||


Lembre-se de que o resultado obtido é o cosseno do ângulo, ou seja, você ainda terá que calculá-lo! Além disso, pela própria lei dos cossenos, é fácil demonstrar que, caso u e v sejam perpendiculares, o produto vetorial entre os dois será igual a zero.

Comentários

  1. mto boa a explicação gostei desse video também
    https://www.youtube.com/watch?v=IdI3f7fG3bY

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  2. Bilounga Pierre Rodrigues13 de março de 2015 22:00

    Nada mal faria se aulas boas como essa podia ser acompanhado pela resolução de um exercício modelo,de como calcular o ângulo de dois vetores.forma de praticar a compreensão.

    ResponderExcluir

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