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Mostrando postagens de Abril, 2011

O Princípio da Boa Ordenação

No post anterior, definimos o que é um anel e vimos que, se a multiplicação, em um anel, possuir a propriedade que, dados dois elementos do conjunto diferentes de zero, sua multiplicação será diferente de zero, o anel será um domínio de integridade e que, se houver uma relação de ordem total compatível com a adição e com a multiplicação, o anel é bem ordenado. Agora, vamos definir o Princípio da Boa Ordenação.

O que são anéis?

Já vimos que, se em um conjunto, tivermos uma relação que é, ao mesmo tempo, reflexiva, anti-simétrica e transitiva, esta relação será uma relação de ordem e que o conjunto em questão é ordenado. Mais ainda, se R for a relação e sempre tivermos aRb ou bRa, dizemos que esta relação de ordem é total e, em caso contrário, parcial. A relação de ordem, junto à definição de anéis, nos permite definir formalmente o conjunto dos números inteiros.

Relações entre conjuntos

Uma relação entre dois conjuntos A e B nada mais é do que um subconjunto do produto cartesiano destes dois conjuntos. É através das relações que podemos definir ordem, equivalência e funções.

Como calcular o ângulo entre dois vetores?

Considere a seguinte situação: temos dois vetores, [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] e três pontos não colineares, O, P e Q. Seja OP um representante de [latex]overrightarrow{u}[/latex] e OQ um representante de [latex]overrightarrow{v}[/latex]. Temos, então, a figura abaixo:

Como sabemos, θ é o ângulo entre os vetores [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex]. A pergunta natural que surge é: como calcular seu valor?

Mudança de base de vetores

Já vimos que uma base é uma tripla de vetores linearmente independentes, isto é, não coplanares, que geram o Espaço. Através de uma base, podemos criar um sistema de coordenadas para os vetores, sendo que estas nada mais serão do que os coeficientes &lamnda; dos vetores integrantes da base que geram o vetor em questão. Vimos, ainda, que uma base é um recurso totalmente artificial, criado pelo homem. Assim, podemos criar as bases que acharmos mais convenientes.
Agora, imagine a situação ilustrada pela figura a seguir:

Nela, vemos um vetor [latex]overrightarrow{v}[/latex] na base E formada pelos vetores . Ele possui suas coordenadas nesta base. Vamos supor que as coordenadas de [latex]overrightarrow{v}[/latex] na base E sejam (1,2,3). Agora, digamos que exista uma outra base F, formada pelos vetores , conforme a figura acima.
Surge, então, a pergunta natural: quais serão as coordenadas do vetor [latex]overrightarrow{v}[/latex] na base F?

Coordenadas e matrizes
Geralmente, as coordenadas …

O que são ângulos?

O leitor Rafael perguntou no post sobre Pontos, Retas e planos o que são ângulos. Nada melhor, então, do que abordar este assunto neste post, afinal, este é um campo de extrema importância.
Ângulos nada mais são do que a reunião de duas semirretas de mesma origem. Considerando-se duas semirretas, [latex]overrightarrow{OA}[/latex] e [latex] overrightarrow{OB}[/latex] , o ângulo AÔB nada mais será do que . Sua representação gráfica já é bastante conhecida:


Regiões côncavas e convexas
Dizemos que um conjunto de pontos Σ é convexo se e somente se, dados dois pontos quaisquer distintos, A e B, ambos pertencentes a Σ o segmento de reta [latex]overline{AB}[/latex] estiver totalmente contido em Σ. Se alguma parte do segmento [latex]overline{AB}[/latex] não estiver contida em Σ, dizemos que o segmento é côncavo. A figura abaixo mostra uma figira convexa, à esquerda, e uma côncava, à direita.


Postulado da separação dos pontos de um plano
Uma reta r separa um plano π em dois semiplanos abertos. Chama…

Quantos usuários de Mac são necessários para trocar uma lâmpada?

Apenas 1: ele vai ligar para o suporte técnico da Apple às 13h reclamando que sua iLâmpada queimou; às 13h 30min, uma luxuosa limousine da Apple estacionará em frente a sua residência e, dela, sairá um técnico altamente especializado para trocar a lâmpada; este é um homem alto, forte, musculoso, loiro e de olhos azuis. Durante o serviço, ele sentirá calor e irá tirar sua camisa, revelando um corpo escultural. O usuário, como forma de agradecimento, o convidará para tomar uma xícara de café em seu quarto. O técnico sairá da casa às 20h e o usuário agradecerá de joelhos ao seu deus, Steve Jobs, por ter resolvido seu problema técnico e por ter lhe proporcionado um dos melhores momentos de sua vida, mesmo que ele demore uns seis meses para pagar pelo serviço.

Dependência e Independência Linear de vetores

Combinação Linear
Dizemos que um vetor [latex]underset{w}{rightarrow}[/latex] é uma combinação linear dos vetores se existirem escalares α1, α2, ..., αn tais que  .