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Pontos, Retas e Planos

A Matemática é uma ciência empírica e muito rigorosa. Ao contrário de ciências experimentais, como a Física ou a Química, que aceitam como verdade aquilo que pode ser provado através de uma experiência, os matemáticos apenas aceitam como verdadeiro aquilo que pode ser rigorosamente demonstrado através da lógica matemática. Assim, seu eu falo alguma proposição, para que esta seja aceita como verdade matemática, é necessário que ela valha para todos os elementos do conjunto ao qual ela se propõe. Se existir apenas um elemento sequer ao qual ela não se aplica, então ela não pode ser aceita como verdade. Se, por exemplo, eu quiser provar que a soma de um número ímpar com um número par sempre resulta em um número ímpar e disser que, para 3 e 4 a afirmação se verifica pois o resultado é 7, isto não será aceito por um matemático, pois tudo que fiz foi provar que a afirmação se verifica para o 3 e para o 4 - e não para todos os outros números ímpares e pares existentes.


Quando falamos de conjuntos finitos, geralmente é fácil testar a minha hipótese manualmente em cada um dos elementos mas quando falamos de conjuntos numéricos, os quais possuem infinitos elementos, não podemos utilizar este artifício. Desta forma, é preciso utilizar representações para, através da lógica, chegar a uma fórmula ou equação que sempre se verifique.


Apesar de todo este rigor, muitos assuntos na Matemática são sustentados sobre axiomas ou postulados, que são proposições aceitas como sendo verdadeiras sem a necessidade de sua demonstração. A Geometria Euclidiana é uma delas, pois sua base são noções primitivas, as quais são adotadas sem definição, e axiomas, que não são demonstrados.



Toda a Geometria Euclidiana está baseada na obra Os Elementos, escrita pelo famoso matemático grego Euclides, que viveu entre 360 a.C. e 295 a.C. Neste livro, Euclides, logo nas primeiras páginas, define Ponto como sendo "o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma" e Reta como "o que tem comprimento, sem largura". Mesmo assim, é comum aceitarmos ponto, reta e plano como entidades que não possuem uma definição formal.


A representação dos pontos dá-se com letras latinas maiúsculas: A, B, C. Já as retas são representadas por letras latinas minúsculas, a, b, c, e os planos por letras gregas minúsculas: α, β .


A Geometria Euclidiana possui três postulados fundamentais, que são afirmações aceitas como verdadeiras sem demonstração:



Postulado da Existência


a) Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos;


b) Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos;


Dados dois pontos A e B, das duas uma: ou os dois são coincidentes, isto é, A = B, ou os dois são distintos. Dados um ponto A e uma reta r, ou o ponto A está na reta r ou o ponto A não está na reta r. Nisto, definimos que pontos colineares são aqueles que estão todos na mesma reta.



Postulado da Determinação


a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por entre eles;


b) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por entre eles;



Postulado da Inclusão


Se uma reta tem dois pontos distintos em um mesmo plano então toda esta reta está contida neste mesmo plano.


Com base neste postulado, definimos que pontos coplanares são todos os pontos que estão em um mesmo plano e que figura é um conjunto de pontos. Se todos os pontos da figura estiverem no mesmo plano, dizemos que a figura é plana.


Tomando como base estes três postulados, podemos definir que duas retas, r e s, são concorrentes se e somente se elas possuem um único ponto em comum: considerando uma reta r, sabemos pelo Postulado da Existência que existe um ponto P que pertence a r e um ponto Q que está fora de r. Como P pertence a r e Q não, P e Q são distintos. Logo, pelo Postulado da Determinação, sabemos que existe uma única reta que passa por P e por Q. Seja s essa reta. Afirmamos que r e s são distintas. De fato, se fossem a mesma, o ponto Q estaria em r.



Estar entre


Estar entre é outra noção primitiva. Sejam os pontos A, B e C. Se C está entre A e B, então A, B e C são colineares; Se C está entre A e B, então A, B e C são distintos dois a dois; Se C está entre A e B, então A não está entre C e entre B e nem B está entre B e C. Esta definição é importante para definirmos o que virá a seguir:



Segmento de Reta


Um Segmento de Reta AB é o conjunto de pontos formado pelo ponto A, pelo ponto B e por todos os pontos que estão entre A e B.


O segmento de reta AB

Perceba que, em um caso extremo, se A = B então o segmento de reta AB será o ponto A. Por isso, consideramos A diferente de B.


 

Semirreta


Já a Semirreta AB é o conjunto de pontos formado pelo segmento de reta AB e o conjunto de pontos X tal que B está entre A e X.


A semirreta AB


Agora, qual é a diferença entre reta, segmento de reta e semirreta? É muito simples: a reta é infinita e não possui começo nem fim; Já o segmento de reta é finito: ele começa no ponto A e termina no ponto B. E a semirreta? Assim como a reta, ela é infinita mas, diferente desta, ela possui uma origem, um começo, qual seja, o ponto A. Mas então, você deve estar se perguntando: se a semirreta é infinita, por que dizemos "A semirreta AB" e não simplesmente "A semirreta A"? Ora, fazemos isso para definir o sentido da semirreta. Existem infinitas retas que passam pelo ponto A, mas pelo postulado da determinação, existe uma única reta que passa pelo ponto A e pelo ponto B. Assim, conhecidos os pontos A e B, podemos saber de qual semirreta estamos falando.

Comentários

  1. bom, não entendi direito!

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  2. Não entendi nada! Só piorou.

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  3. Bando de Burroooooooooooooooooo !!!!!!!!!!!

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  4. gostei muito nota 10,00 ta de parabens me ajudou muito bgd bjos :*

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  5. burro é teu pai que te fez seu animal

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  6. eu não entendi nada.isto é uma porcaria

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  7. tenho que fazer um tebalho de 3 pag so de desenvolvimento e a tia ainda quer exemplos

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  8. gostei muitaoooooooo!!

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  9. thaylane cristina13 de junho de 2012 09:57

    so voce ler direito e presta mais atençao !!!! boa sorte

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  10. Nao intendo,mas isso não quer dizer que o André Machado é burro, mas que ele pode buscar outras maneiras de nó´s ajudar.

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  11. que meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeerda este programa

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  12. Não Entendi nada??????????????????????????????????????????//

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