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O que são números primos?

Os números primos são um assunto recorrente da Matemática e tem uma grande importância, principalmente no campo da Criptografia. Mas, você sabe exatamente o que eles são? Será que 1 é um número primo? Você sabia que existe mais de um tipo de número primo?



Números primos absolutos


Voltando ao post sobre divisibilidade, vimos que b, diferente de 0, divide a, ou b é um divisor de a, somente se existe um outro número c tal que a = b . c. e representamos por b|a. Notamos, ainda, que não faz sentido falar de divisibilidade no conjunto dos números Racionais pois, neste conjunto, a equação a = b . c sempre terá uma solução, se não inteira, fracionária. Desta forma, a divisibilidade é estudada tão somente no conjunto dos números Naturais e no dos números Inteiros.


Assim, por esta definição, podemos perceber que 1, -1, a e -a sempre serão divisores de um número a, diferente de zero, não importando qual é este número. Por exemplo: os divisores naturais de 10 são 1, 2, 5 e 10. Perceba que 1 e 10 fazem parte da lista.


Estes divisores são chamados de divisores triviais ou impróprios. Assim, chama-se número primo absoluto, ou simplesmente número primo, qualquer número cujos divisores sejam apenas estes divisores triviais.


Logo, se considerarmos o conjunto dos números Naturais, os números primos serão todos aqueles que possuem exatos dois divisores: 1 e ele próprio; já se nos estendermos ao conjunto dos números inteiros, os primos serão todos que possuem apenas quatro divisores: 1, -1, ele próprio e seu simétrico.


Assim, se considerarmos apenas o conjunto dos números Naturais, 2 é o primeiro número primo, pois possui apenas divisores triviais: 1 e ele mesmo. Mais do que isso, 2 é o único número primo par. De fato, todos os demais números pares são, pela própria definição de número par, divisíveis por 2 e, portanto, possuem mais do que divisores triviais. É importante notar, ainda, que um número ímpar pode ou não ser um número primo: 3, 5 e 7 são todos números primos, mas 9 não é, pois, além de ser divisível por 1 e por ele mesmo, também é divisível por 3.



1 é um número primo?


Até certo tempo atrás, o número 1 era considerado como número primo pois, de fato, ele é seu único divisor (Natural) e também a unidade. Euclides, em seu livro Elementos, trata-o como tal mas, atualmente, 1 não é considerado número primo, pois isso traria graves consequências em outras definições, como a da fatoração de números inteiros, que seria uma multiplicação infinita caso considerássemos 1 como sendo primo.



Números relativamente primos


Já vimos que os números primos absolutos são todos aqueles cujos divisores são todos triviais, mas existe outro tipo de número primo: os números relativamente primos.


Dizemos que dois números Naturais (ou Inteiros), distintos, são relativamente primos se tiverem como divisores comuns apenas 1 (ou 1 e -1). Em outras palavras, dois números são relativamente primos se seu máximo divisor comum for igual a 1.


É importante notar que um número só pode ser relativamente primo com outro, isto é, nenhum número é primo relativo sozinho. É importante, ainda, frisar que dois números relativamente primos não precisam, necessariamente, serem números primos absolutos.


Por exemplo: 2 e 3, que são ambos números primos, são, também, primos relativos, pois MDC(2, 3) = 1. Dois números consecutivos serão sempre relativamente primos, pois seu MDC será igual a 1. De fato, nem 25 nem 26 são números primos, mas como MDC(25,26) = 1, eles são relativamente primos.


Note que dois números pares nunca serão relativamente primos, pois seu MDC, na pior das hipóteses, será 2. A recíproca é falsa: dois números ímpares poderão ou não ser primos relativos. De fato, 3 e 5 são, mas 3 e 9, não. O mesmo vale para um inteiro par e um inteiro ímpar: 2 e 9 são relativamente primos, mas 6 e 9 possuem 3 como máximo divisor comum. No entanto, dois números primos distintos quaisquer sempre serão relativamente primos, pois, chamando tais números de c e de d, os divisores de c são 1 e c (ou 1, -1, c e -c) e os de d são 1 e d (ou 1, -1, de -d) e, logo, MDC(c, d) = 1.


Há, ainda, uma forma bastante simples de se descobrir se um número primo é relativamente primo com outro inteiro dado: basta ver se o inteiro o divide: se não dividir, os dois serão relativamente primos. De fato, sendo p um número primo e i um número inteiro qualquer, como os únicos divisores de p são 1, -1, p e -p e p não divide i, resta que os únicos divisores comuns de p e i são 1 e -1 (ou apenas 1, no conjunto N).



Quantos números primos existem?


Existem infinitos números primos. De fato, se existisse uma quantidade finita de números primos, seria possível listar todos eles:


p1, p2, p3, ... , pn


Onde pn é o último número primo. Agora, seja N = p1 . p2 . p3 . ... . pn + 1. Como px | p1p2p3...pn e px não divide 1, pela propriedade da divisibilidade, sabemos que px não divide N, para qualquer x, mas isso é um absurdo, pois pelo Teorema Fundamental da Aritmética, N é primo ou se escreve como um produto de primos. Logo, N deveria ser um número primo, mas todos os números primos já foram listados, o que é um absurdo! Logo, os números primos são infinitos.



Como descobrir se um número qualquer é primo?


É fácil descobrir se um número qualquer, n, é primo. Evidentemente, por razões óbvias, qualquer número par maior do que 2 não será primo. Agora, e os números ímpares? Poderíamos tentar dividir o número ímpar dado por todos os números ímpares menores do que ele, mas esta seria uma tarefa extremamente cansativa se o número em questão fosse demasiadamente grande. Felizmente, basta descobrirmos se algum número primo menor ou igual à raiz quadrada de n o divide: se nenhum o dividir, n é primo.


A demonstração é simples: Suponhamos que n seja um número composto. Então, existem a e b naturais, com 1 < a, b < n tais que n = ab. Supondo que a < b, temos que [latex]a^{2} leq ab = n Rightarrow a leq sqrt{n}[/latex]. Como a > 1, existe p primo tal que p | a. Assim, p é um fator primo de n com [latex]p leq a leq sqrt{n}[/latex]. Como n é composto, se não existir nenhum primo p que divida n e que seja menor ou igual à sua raiz quadrada, podemos concluir que n é primo.


Por exemplo, vamos verificar se o número 151 é primo. Como 13² = 169 > 151, os números primos menores do que a raiz de 151 são: 2, 3, 5, 7 e 11. Como nenhum destes números divide 151, concluímos que ele é primo.

Comentários

  1. Se o numero for muito grande como: 7 253 107 como sabber se ele é ou não numero primo?

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  2. Certamente não a mão. Existem métodos computacionais que podem dizer se um número é primo, mas dependendo do número é utilizada probabilidade.

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  3. Caro professor, o número negativo também pode ser primo? se for verdade, e a máxima que o 2 é o único primo par?

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  4. Wallace,

    obrigado pelo seu comentário. Pela definição clássica de número primo, este conceito aplica-se somente a números Naturais, isto é, maiores do que zero. No entanto, alguns autores estendem sua definição para o conjunto dos números Inteiros afirmando que os números primos são os que possuem apenas quatro divisores: 1, -1. ele mesmo e seu simétrico.

    Um número par é aquele que pode ser escrito da forma 2k. Assim como os números primos, a maioria dos autores considera que o conceito de números pares e ímpares se aplica apenas aos números Naturais. Se você considerar que números negativos também podem ser pares e ímpares, então os primos pares serão 2 e -2;

    Abraços!

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  5. Estou com dúvida para resolver o seguinte problema

    Prove por contraposição que se n> 1 é um número natural, e n divide {(n-1)! + 1}, então n é primo

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  6. nao gotei nao tem o que eu estava procurando eu queria exemplos e nao entendi nada nunca mais entro nesse site

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  7. n entendi exatamente numero primo como multiplica e divide expliquem por favor mais direcionada ao leitor
    espero a resposta

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  8. ITAMAR RIBEIRO JR.4 de janeiro de 2016 06:55

    Negativo também é primo. No conjunto Z dos números inteiros, cada número primo tem 4 divisores. Ex: -3 tem os divisores -3,+3,-1 e +1. No conjunto N dos números naturais, cada primo tem dois divisores, 1 e o próprio. Dizer que 2 é o único par primo está certo, desde que estejamos falando dos números naturais. "2 é o único nº natural par que é primo."

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