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O que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas?

Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas, também chamadas de  injetoras, sobrejetoras e bijetoras, são classificações de funções quanto ao seu domínio, ao seu contradomínio e à sua imagem.



Dizemos que uma função [latex]f: A to B[/latex] é injetiva se, dados dois valores quaisquer distintos do domínio, suas imagens serão distintas.


Vamos a um exemplo:


Gráfico de uma função afim

Acima, temos o gráfico de uma função afim - a saber, f(x) = x + 1. Este gráfico representa uma função injetiva, pois se pegarmos dois valores distintos do domínio, suas imagens serão distintas. A saber, a imagem de 0 é 1 e a imagem de 1 é 2.


Agora, veja o gráfico de uma função quadrática:


Gráfico de uma função quadrática


Esta função não é injetiva pois, se pegarmos dois valores diferentes do domínio, digamos -1 e 3, estes apresentarão a mesma imagem, no caso, 0. Para tornar uma função injetiva, devemos modificar seu domínio. Assim, se mudarmos o domínio da função quadrática acima para Fórmula, toda a parte negativa desaparecerá e a função será injetiva.


Como demonstrar: Para demonstrarmos que uma função é injetiva, devemos supor, por absurdo, que dois valores diferentes de y são iguais e, assim, concluir que o x que os gera é o mesmo, deste jeito:


Afirmamos que a função Real de variável Real f(x) = x + 1 é injetiva. Vamos supor y1 = f(x1), y2 = f(x2) e y1 = y2. Disto, decorre que:


Fórmula


Dizemos que uma função [latex]f: A to B[/latex] é sobrejetiva se sua imagem é igual ao seu contradomínio.


Nos exemplos acima, a função afim é sobrejetiva, pois seu domínio é o conjunto dos Reais e seu contradomínio também é o conjunto dos Reais. É fácil perceber que a reta que sua imagem também é R. Já a função quadrática apresentada não é sobrejetiva pois, embora seu domínio e seu contradomínio sejam R, não existe nenhum valor que, aplicada a ela, poderá gerar uma imagem menor do que -4. EM outras palavras, o gráfico nunca cortará o eixo das abscissas abaixo de -4, independente do valor que se atribua a x.


Para tornarmos uma função sobrejetiva, temos que alterar seu contradomínio. Por exemplo, seja a função modular abaixo (desconsiderar parte vermelha):


Gráfico de uma função modular


Se esta função for de f: R -> R, ela não será sobrejetiva, mas se restringirmos seu contradomínio de forma que ela seja uma função [latex]f: mathbb{R} to [0, + infty ][/latex], ela se tornará sobrejetiva.


Uma função bijetiva é aquela que é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Este tipo de função é importante porque ela é o único tipo de função que possui inversa. Assim, antes de procurarmos a inversa de uma função, devemos verificar se ela é bijetiva e, se não for, devemos restringir seu domínio e seu contradomínio conforme o caso.

Comentários

  1. Hey, André! Adorei o conteúdo desse post, me ajudou bastante a entender essa matéria para as minhas aulas de Cálculo. Obrigada!!! :)

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  2. Nossa! mto bom Andre,amei esse conteudo me ajudara mto nas aulas,mto obrigado mesmo ! nota dez pra você!!!!1

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  3. Adorei este artigo, mt bom..Parabens!!!

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  4. eu amei este site, ele mim ajudou muito a fazer a minha prova de matamática
    e o meu trabalho.
    parabéns....
    isso é demais

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  5. esta função é muita simples, e comprienciva

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  6. André esse conteúdo é ótimo , me ajudou muito no meu trabalho de matemática

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  7. Adorei.... Vai me ajudar bastante na prova... Mto obrigado :)

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  8. Heloooo. Vce ajudou m bastant com stema pude defender melhor o meu trabalho. Espero que cnsigas mas um trabalho "calculo combinatorio e probabilidade". Um abraxo muit fort.

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  9. Daffny, mts pessoas se confundem com os pronomes " me " e "mim", um truque q pode ser usado é lembrar que o "mim" é sempre usado no final da frase, por exemplo :" Você trouxe esse livro para mim ?"; E o " me " é usado no meio da frase :" Isso me ajudou muito, obrigada ." Quando se usa o "mim" no meio da frase, o entendimento possibilita a interpretação de que você é indígena, não desmerecendo sua cultura nem nada.. bjos

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  10. Parabéns André, muito bom esse conteúdo, me ajudou bastante na minha defesa do trabalho de matemática. Muito obrigada!!!

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  11. Oi Larissa eu do aula de cálculo.. Se quiser te dou aulas particulares por 150 por mês.. Ta super barato.. Aproveite..

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  12. "EM outras palavras, o gráfico nunca cortará o eixo das abscissas abaixo de -4, independente do valor que se atribua a x."

    Excelente!

    Apenas uma retificaçãozinha: abcissas não, ordenadas!

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  13. "EM outras palavras, o gráfico nunca cortará o eixo das abscissas abaixo de -4, independente do valor que se atribua a x."

    Excelente!

    Apenas uma retificaçãozinha: abcissas não, ordenadas! ok?

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  14. gostei bwee da matéria muito bem elaborada.

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