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Conjuntos, Subconjuntos, pertinência e continência

Os conjuntos são um dos pilares principais da Matemática. Aqui, vamos aprender um pouco mais sobre eles.


Embora muitos autores tentem definir a ideia de conjunto, em geral associando-a com a ideia de grupo ou de coleção, conjunto, elemento e elemento pertencer a conjunto são tidos como conceitos intuitivos, isto é, não se definem.


O sistema de notações diz que representamos os conjuntos por letras latinas maiúsculas. Assim, podemos ter os conjuntos A, B, C, ..., Z. Já os elementos dos conjuntos são representados por letras minúsculas: a, b, c, ..., z são todos elementos.


Quando queremos dizer que um elemento x pertence a um conjunto Y, escrevemos [latex]x in Y[/latex]; Já quando queremos mostrar que x não pertence a y, anotamos [latex]x notin Y[/latex].



Exemplos de conjuntos


Conjunto dos dias da semana:


S = {Domingo, Segunda-Feira,Terça-Feira, Quarta-Feira, Quinta-Feira, Sexta-Feira, Sábado}


Conjunto dos Números Naturais:


[latex]mathbb{N}[/latex] = {0,1,2,3,...n,...}


Conjunto dos Números Inteiros:


[latex]mathbb{Z}[/latex] = {...,-n,...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...n,...}



Cardinal


Cardinal é o nome que damos ao número de elementos de um conjunto.



Tipos de conjunto


Conjunto Finito: é aquele que possui um cardinal finito, ou seja, possui um número finito de elementos. Exemplo: o conjunto S dos dias da semana.


Conjunto Infinito: é aquele que possui um cardinal infinito, como os conjuntos dos Números Naturais ou dos Números Inteiros.


Conjunto Unitário: é aquele que possui apenas um elemento. Exemplo: o conjunto dos números primos pares, P = {2}.


Conjunto Vazio: é aquele que não possui elemento. Exemplo: conjunto dos números ímpares que são divisíveis por 2: [latex]I=varnothing[/latex]


Representamos o conjunto vazio pelo símbolo [latex]varnothing[/latex]. Também é comum o representarmos pelo uso das chaves {}, mas NUNCA o devemos representar como [latex]{varnothing}[/latex] pois, se assim o fizermos, não estaremos representando o conjunto vazio mas, sim, um conjunto unitário cujo único elemento é o vazio.



Subconjuntos


Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que B é um subconjunto de A se todo elemento de B pertencer ao conjunto A. Neste caso, também dizemos que B está contido em A e anotamos [latex]B subset A[/latex]. Assim, por exemplo, [latex]mathbb{N}[/latex][latex] subset[/latex][latex] mathbb{Z}[/latex].


Da mesma forma, dizemos que B não é um subconjunto de A, ou que B não está contido em A, se existir pelo menos um elemento de B que não pertença a A.


Dizemos que dois conjuntos, A e B, são iguais se e só se [latex]A subset B Leftrightarrow B subset A[/latex]



O Conjunto Vazio e os Subconjuntos


O Conjunto Vazio é subconjunto de qualquer conjunto.


Demonstração: [latex]varnothing notsubset A, exists x in varnothing,xnotin A[/latex], o que é absurdo, pois nada pode pertencer ao vazio.

Comentários

  1. a continência - pode pertenser a um conjunto vazio??

    ou seja: êle pode estar contido mas nâo perteser.?

    espero resposta

    muito obrigado

    edmildo cirilo dos santos

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  2. Olá Edimildo.

    Vamos por partes:

    Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B se todos os elementos de A pertencerem ao conjunto B. Lembre-se de que continência é uma relação entre conjuntos e pertinência entre seus elementos. Assim, não faz sentido dizer que a continência pertence a um conjunto.

    Em relação ao conjunto vazio, pela demonstração você pode ver que ele está contido em qualquer conjunto, mas por definição, um conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum.

    Assim, acredito que a resposta a sua pergunta é que: o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto - seja este conjunto vazio ou não -, mas nenhum conjunto não vazio está contido no conjunto vazio, afinal, o vazio não possui elemento algum.

    Espero que tenha entendido. Qualquer coisa, comente de novo.

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  3. ola em explicaçoes claras subconjutos e dois conjuntos que obtem o mesmo numero de elementos responda ate dia 18/10/11 pois tenho um trabalho escolar obrigada Camilly Cortez Oliveira e Costa

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  4. Olá, peço que esclareça a seguinte situação:

    o conjunto vazio tem relação de pertinência com um conjunto A qualquer.
    Quando escrevo relação de pertinência é de pertencer a um conjunto como se fosse um elemento, mas no sentido conceitual considerando o vazio um conjunto.

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  5. Olá, gostaria de saber qual é a diferença entre a pertinência e a continência?

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  6. Um elemento pode apenas pertencer a um conjunto e um conjunto apenas pode estar contido em outro conjunto,

    ResponderExcluir
  7. tatiana bento pereira silva19 de fevereiro de 2015 01:51

    ola eu queria saber em que situaçao eu posso usar a relaçao
    pertinencia

    ResponderExcluir
  8. mais ou menos esta explicação(...!....)

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  9. O que significa ter números entre chaves dentro de um conjunto?qual a principal diferença entre pertinência e continência?
    Aguardo resposta

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