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O que é uma função?

Durante o curso de Matemática na Escola Básica, as funções são uma parada obrigatória mas, muitas vezes, os estudantes não sabem definir, exatamente, seu significado.

Uma função nada mais é do que uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Mas nem toda relação pode ser chamada de função. Uma relação [latex]f: D to B[/latex] apenas pode ser chamada de função se para cada [latex]x in D[/latex] não existir ambiguidade para se associar [latex]y = f(x)[/latex]. Em outras palavras, isto significa que, dado um [latex]x in D[/latex], existe um único [latex]y in B[/latex] tal que [latex]y = f(x)[/latex].

Os conjuntos D e B possuem nomes especiais. O conjunto D chama-se domínio da função e é o conjunto de todos os valores admissíveis para a variável x; Já o conjunto B chama-se Contradomínio e é o conjunto de chegada.

Existem várias analogias que nos permitem entender melhor esta definição. Uma delas é a dos índios com arco e flecha e os alvos. Cada índio possui uma flecha e precisa atirá-la em um alvo. Os índios representam o Domínio da função e os alvos, o Contradomínio.

Todos os índios precisam atirar em um alvo: não pode acontecer de um índio não dar o seu disparo. Além disso, cada flecha vai acertar apenas um alvo: não pode acontecer de uma única flecha atingir dois alvos diferentes; em compensação, é possível que duas flechas distintas atinjam o mesmo alvo ou que nenhum alvo seja atingido.

Embora simples, este exemplo ilustra bem o que é uma função e é possível que você até já o tenha visto, embora sem saber, através dos famosos diagramas:

Diagrama de uma função. Fonte: http://www.infopedia.pt/img/artigos/ESQ_funcaoMatematica06.jpg

O diagrama acima representa uma função pois todos os elementos do conjunto x - a saber: 1, 2 e 3 - estão associados, ou correspondem, a um único elemento do conjunto y. Note que nem todos os elementos de y possuem uma correspondência com o conjunto x.

Exemplo de uma relação que não é uma função. Fonte: http://www.infopedia.pt/img/artigos/ESQ_funcaoMatematica04.jpg

Já o diagrama acima não representa uma função pois, embora os elementos 1 e 2 de x estejam associados a um único elemento de y - a saber: ambos estão associados a b -, o elemento 3 de x está relacionado, ao mesmo tempo, com c e com d, o que é inadmissível! Em nossa analogia, seria como se o índio 1 tivesse atirado sua flecha e atingido o alvo b; o índio 2 tivesse disparado e atingido o mesmo alvo e o índio 3 tivesse soltado sua flecha que atingiu os alvos 2 e 3 ao mesmo tempo. Não pode! Logo, não é função.

Pelo exemplo acima, pudemos perceber que nem todos os elementos do Contradomínio podem ter alguma relação com os elementos do Domínio. Chamamos de Imagem da função ao subconjunto de B composto por todos os y para os quais existe [latex]x in D[/latex] tal que [latex]y = f(x)[/latex].

Quando se fala de funções, geralmente menciona-se "função Real de variável Real". Função de variável Real nada mais significa que [latex]D subseteq mathbb{R}[/latex] e função Real quer dizer que [latex]B subseteq mathbb{R}[/latex].

É importante perceber que uma função é dada tanto por sua lei de formação quanto por seu domínio: duas funções com a mesma lei de formação mas com domínios diferentes não são a mesma função! Por exemplo, as funções

Fórmula

e

Fórmula

não são a mesma função! Apesar de a lei de formação de ambas ser a mesma, na primeira, seu domínio é todo o conjunto dos números Reais e, na segunda, é o intervalo que vai de 0, aberto, até mais infinito. Apesar de ser uma prática comum referenciar-se uma função apenas por sua lei de formação, ela só estará completa se também informarmos seu domínio.

Comentários

  1. Adorei a analogia com os índios.
    Muito divertida e explica com clareza o conceito de função.

    Parabéns e Obrigada pela dica

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  2. De nada! Obrigado pela visita.

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  3. Obricado pela dica Andre Machado

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