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Como somar dois vetores

Neste post, veremos como podemos somar dois vetores de forma geométrica.

Somar dois vetores de forma geométrica é uma tarefa bastante simples. Para explicar, vamos considerar a tarefa de somarmos dois vetores, [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex].

Vamos considerar um representante (A, B) do vetor [latex]overrightarrow{u}[/latex]. Agora, vamos tomar um representante do vetor [latex]overrightarrow{v}[/latex] com origem em B. Seja C a extremidade do representante de [latex]overrightarrow{v}[/latex], isto é, (B, C). Até agora, temos o seguinte:

Representantes dos vetores u e v: (A, B) e (B, C)A soma dos vetores [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex] nada mais será do que o vetor que tem origem em A e extremidade em C, ou seja, é o vetor (A, C):

A soma dos vetores u e v é o vetor u+v, correspondente a (A, C)Perceba, assim, que para somarmos dois vetores quaisquer tudo que temos a fazer é escrever os dois vetores sendo que a extremidade do primeiro é, também, a origem do segundo e, então, basta fechar o triângulo. Caso tenhamos que somar mais do que dois vetores, basta fazer a operação dois a dois.

Regra do paralelogramo


Embora a regra acima possa ser aplicada a, virtualmente, quaisquer dois vetores, em certos casos é melhor utilizar a regra do paralelogramo. Tal regra consiste em, ao contrário do que vimos, escrever os dois vetores com a mesma origem. Desta forma, podemos criar o paralelogramo ABCD e, então, a soma dos vetores [latex]overrightarrow{u}[/latex] e [latex]overrightarrow{v}[/latex], cujos representantes são, respectivamente, (A, B) e (A, C), será a diagonal (A, D), pois esta fecha o triângulo ABD. Lembremos que (B, D) = (A, C) = [latex]overrightarrow{v}[/latex].

Regra do Paralelogramo

Propriedades da adição de vetores


A adição de vetores goza das seguintes propriedades:

  • Associativa: [latex](overrightarrow{u}+overrightarrow{v})+overrightarrow{w} = overrightarrow{u} + (overrightarrow{v}+overrightarrow{w})[/latex]

  • Comutativa: [latex]overrightarrow{u}+overrightarrow{v}=overrightarrow{v}+overrightarrow{u}[/latex]

  • Elemento Neutro: [latex]overrightarrow{u}+overrightarrow{0}=overrightarrow{u}[/latex]

  • Elemento oposto: esta propriedade assegura-nos que, dado um vetor [latex]overrightarrow{u}[/latex], existe um vetor que, somado a este, resulta no vetor nulo. A este vetor, chamamos [latex]overrightarrow{-u}[/latex].


Esta última propriedade é importante pois nos permite definir a subtração de vetores: [latex]overrightarrow{u}-overrightarrow{v}[/latex] nada mais é do que a soma do vetor [latex]overrightarrow{u}[/latex] com o vetor oposto de [latex]overrightarrow{v}[/latex]. Assim, na regra do paralelogramo, a subtração dos vetores é a diagonal (D, A).
Representantes dos vetores u e v: (A, B) e (B, C)

Comentários

  1. André, acho importante formalizar conceitos que são só intuitivos. Sem formalizar fica difícil demonstrar qualquer coisa. ;-)

    Essa formalização que você fez é interessante por mostrar de que forma conceitos como "relação de equivalência" e tal, podem ajudar.

    No entanto, gostaria de apontar duas questões:
    1. Pra quem já está acostumado com a ideia da coisa, e pronto a passar para um segundo nível, o mais fácil me parece ser dizer que um vetor é uma terna ordenada.

    2. Pra quem está mais familiarizado com álgebra, é um pouco estranho definir o que é um vetor. Um vetor é um elemento de um espaço vetorial! Faz mais sentido definir o que vem a ser um espaço vetorial. Essencialmente é um conjunto munido de soma e produto por escalar que satisfaz algumas propriedades.

    A vantagem do "2", é que se pode falar em espaços vetoriais muito mais gerais, como por exemplo, o espaço das funções de um conjunto X em R. Neste conjunto, está definida a soma e o produto por escalares.

    Dá pra fazer coisa muito mais complicada, como enxergar R (números reais) como sendo um espaço vetorial com escalares em Q (números racionais)! :-)

    Minha sugestão é que você use o termo "espaço vetorial de dimensão 3" ou "vetor tridimensional". Isso por que depois você vai precisar de dimensões maiores... aí vai ter que dizer:
    - Então, eu havia dito que era isso, mas não é só isso... ;-)

    Pra falar de subespaços, vai precisar permitir dimensões menores também...

    Com as expressões que eu sugeri o cara já fica avisado que existem outras coisas... em especial, outras dimensões.

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  2. Com certeza, farei as alterações, mas o que acontece é que o post ficou dessa forma porque, em minha universidade, nós primeiro temos Geometria Analítica, que é focada em vetores e apenas menciona levemente o espaço vetorial e, só depois, temos álgebra linear, que trata do espaço vetorial em si. Mas eu vou fazer as modificações pertinentes.

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